Approfondimento delle conoscenze sugli insiemi numerici. Numeri reali, loro costruzione rigorosa e loro rappresentazione. Cardinalita'. Cenni sulle disuguaglianze.
Alcune riflessioni sul modo con cui si pensano, si apprendono e si insegnano i concetti di funzione, limite, continuità, derivata e integrale. Approfondimenti e storia della formazione di tali concetti.
Svolgimento collaborativo di esercizi riguardanti le applicazioni di questi concetti a problemi in convessità.
Materiale reperito da molte fonti diverse, e indicato (e nella maggior parte dei casi disponibile in formato elettronico) nel sito MOODLE del corso
Obiettivi Formativi
Il corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione della definizione o costruzione dei numeri reali e delle loro rappresentazioni, degli aspetti didattici e delle maggiori difficoltà nell’apprendere e nell’insegnare i principali concetti del calcolo differenziale e integrale.
Il corso intende anche rafforzare la capacità di applicare conoscenza e comprensione tramite lo svolgimento di esercizi in classe, singolarmente e in gruppo.
Il corso inoltre mira a potenziare le abilità comunicative attraverso la preparazione, discussione e audizione di lezioni in classe.
Prerequisiti
Conoscenza delle più elementari strutture algebriche e dei primi concetti di topologia generale e teoria della misura.
Ottima padronanza delle definizioni e proprietà incontrate nel calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una e più variabili e nello studio delle serie numeriche e delle serie di funzioni.
Metodi Didattici
Durante il corso si alternano lezioni frontali, con esposizione critica della teoria in programma da parte del docente, e attività laboratoriale, con svolgimento di esercizi alla lavagna da parte degli studenti. Qualche lezione potrà essere svolta in aula informatica sui software e applets utili per spiegare alcuni concetti dell'analisi.
Per incrementare le capacità comunicative dello studente, la parte finale del corso sarà dedicata alla discussione in classe di alcune lezioni preparate dagli studenti stessi.
La diffusione di dispense integrative avviene tramite la piattaforma Moodle.
Altre Informazioni
Sara' attivato un corso Moodle
Modalità di verifica apprendimento
Lezione: Gli studenti, divisi in gruppi, preparano ed espongono una lezione su un argomento scelto da una lista e al termine partecipano alla discussione collettiva.
Prova orale: Vengono poste alcune domande e viene fatto svolgere un esercizio alla lavagna. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione dei concetti di base dell'analisi e delle idee presentate nel corso. Viene valutata la capacità comunicativa, la proprietà di linguaggio e anche la riflessione autonoma critica dello studente sulle difficoltà didattiche. Gli esercizi sono scelti per valutare la capacità degli studenti di applicare in problemi semplici o semplificati i concetti e i risultati istituzionali dell'analisi.
Programma del corso
Education Committee of the EMS, Solid Findings: It is necessary that teachers are mathematically proficient, but is it sufficient?, Newsletter of the European Mathematical Society, March 2012, 46-50.
J.V. Grabiner, The changing concept of change: the derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics magazine 56 (1983);
D. Tall, The Blancmange Function Continuous Everywhere but Differentiable Nowhere, The Mathematical Gazette , 66, n. 435 (1982), 11-22.
S. Vinner, Concept definition, concept image and the notion of function, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 14 (1983), 293–305;
D. Tall e S. Vinner, Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to Limits and continuity, Educational Studies in Mathematics 12 (1981), 151–169;
I. Kleiner, Evolution of the function concept, a brief survey, The College Mathematics Journal, 1989, 20, 282–300;
Difficoltà didattiche legate al concetto di limite.
Un nuovo modo di definire la derivata senza usare I limiti, dal libro J. Marsden, A. Weinstein, Calculus Unlimited. Concetto di crescita locale e discussione del passaggio da questo alla crescita globale.
Integrazione.
Equivalenza tra l’integrazione alla Riemann e quella alla Darboux. Discussione critica degli aspetti didattici dell’integrazione alla Riemann. M. Bramanti, Una proposta didattica: come e perché insegnare gli integrali, Emmeciquadro, 36 (2009), 47–53.
Definizione ‘’assiomatica’’ dell’integrale a partire da due sue proprietà. Dal libro: Peter Lax, Anneli Lax, S. Burstein, Analisi Matematica con applicazioni e calcolo numerico, Zanichelli, 1986
I numeri.
Assiomi di Peano dei numeri naturali. Costruzione dei numeri reali a partire dai naturali e costruzione assiomatica dei numeri reali. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Irrazionalità di e e di π. Numero di Liouville. Numeri reali e continuità: il teorema degli zeri. Logaritmi. Cardinalità.
Letture: T. Gowers, A dialogue concerning the need for the real number system;
Capitolo 6 e sezione 2 del capitolo 10 del libro C. H. Edwards, The historical development of the calculus, Springer;
Capitolo 2 parte III del libro F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover (1945)
Concetti di funzione, limite e derivata.
Disuguaglianze e convessità.
Confronto tra varie definizioni di funzione convessa e di insieme convesso. Proprietà delle funzioni convesse di una variabile. Simmetrizzazione di Steiner e di Schwarz per insiemi convessi. Teorema isoperimetrico nel piano.
J.M. Steele, The Cauchy-Schwarz master class;
H. Chen, Excursions in classical analysis;
P. Duren, Invitation to classical analysis.
Elenchi di esercizi svolti a lezione:
I. Funzioni convesse: rapporto incrementale e derivata;
II. Insiemi convessi: funzione supporto e funzione spessore;
III. Somma di insiemi e distanza di Hausdorff.
IV. Il problema isoperimetrico: simmetrizzazione di Steiner, disuguaglianza di Brunn-Minkowski.