Insegnamento mutuato da: B020977 - CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum APPLICATIVO
Lingua Insegnamento
Italiano o Inglese (se presenti studenti non italiani)
Contenuto del corso
Calcolo delle Variazioni. Spazi di Sobolev e problemi al bordo per Equazioni alle derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico. Proprietà di continuazione unica per equazioni alle derivate parziali
PARTE I
1. L.C. Evans, Mathematical Methods for Optimization. Dynamic Optimization.
https://math.berkeley.edu/~evans/math%20195%20notes.pdf
2. I. Gelfand, Fomin S. Calculus of Variations, Dover, 2000.
3. M. L. Krasnov et al, Problems and exercises in the calculus of variations, Mir, 1975.
4. G.Talenti, Colesanti A., Salani P., Un’introduzione al calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, 2016.
PARTE II
1. L. C. Evans. Partial Differential Equations. AMS 1998.
2. F. John. Partial Differential Equations. Springer (4th edition).
3. Note fornite dal docente
Obiettivi Formativi
Il Corso si prefigge di fornire le conoscenze e capacità tecniche di base ed avanzate necessarie per la comprensione e lo studio di problemi riguardanti le equazioni alle derivate parziali ellittiche e paraboliche, lineari e non lineari, ed i problemi di calcolo delle variazioni ad esse collegate. Alla fine del corso lo studente avrà acquisito gran parte delle moderne tecniche nello studio delle EDP e del CV. Il Corso intende inoltre fornire le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di alcuni problemi che si presentano in vari ambiti di studio, anche non prettamente matematici. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per il lavoro di gruppo. Il Corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per intraprendere un percorso di ricerca, sia teorico che applicato, nel campo delle equazioni alle derivate parziali.
Prerequisiti
CORSI DI BASE di Analisi Matematica, Geometria, Analisi Reale e Complessa.
Metodi Didattici
Lezioni frontali o a distanza: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni: guida per gli studenti alla risoluzione di una scelta di problemi con interesse specifico allo studio delle proprietà geometriche delle EDP. Le esercitazioni sono condotte in modo da aiutare gli studenti ad applicare e comunicare le conoscenze acquisite, migliorarne l'indipendenza di giudizio e a svilupparne la capacità di lavoro autonomo.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative, di raccolte di esercizi e riferimenti bibliografici.
Nota: I testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale supplementare per approfondimento personale e per ulteriore studio.
Altre Informazioni
Anche se, per motivi amministrativi, il corso fa parte dell'elenco dei corsi consigliati per l'Indirizzo Applicativo, il corso è un ottima scelta anche per gli studenti dell'Indirizzo Generale, specialmente per quelli interessati ad intraprendere un percorso di ricerca.
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale: seminari su argomenti concordati con ciascuna e ciascuno studente
Programma del corso
PARTE 1 CALCOLO DELLE VARIAZIONI
1.1. Introduzione. Problema classico del calcolo delle variazioni (CV): percorso di lunghezza minima, area minima della superficie di rotazione, brachistocrona, problema di Newton di resistenza minima.
1.2. Funzionali, integrandi. Tipi di minimo diun funzionale. Prima variazione e condizioni del 1o ordine del minimo. Equazione di Eulero-Lagrange (E-L).
1.3. Soluzione (integrazione) della equazione di E-L. Simmetrie, riduzione dell’ordine e leggi di conservazione. Teorema di Noether.
1.4. Problemi di CV con diversi condizioni al bordo. Condizioni di trasversalità.
1.5. Vincoli integrali e problema isoperimetrico del CV.
1.6. Studio di diversi problemi classici del CV con l’uso della equazione di E-L.
1.7. Seconda variazione e condizioni di minimo del 2o ordine. Condizioni di Legendre.
1.8. Condizione di Weierstrass per il minimo forte.
1.9 Positività della seconda variazione e equazione di Jacobi. Punti coniugati.
1.10. Campi di estremali e minimizzanti forti per problemi del CV.
1.11. Esistenza di minimizzanti in problemi del CV. Teorema di Tonelli.
1.12. CV multidimensionale. Formulazione del problema. Tipi di minimo.
1.13. Prima variazione e equazione di E-L multidimensionale.
1.14. Equazioni classiche alle derivate parziali come equazioni di E-L. Principi variazionali.
1.15. Vincoli integrali e problema isoperimetrico multidimensionale.
1.16. Seconda variazione per il problema del CV multidimensionale e condizioni del 2o ordine del minimo.
1.17. Risoluzione di alcuni problemi del CV multidimensionale con l’uso della prima e la seconda variazione.
PARTE II. EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
1. Definizione degli spazi di Sobolev a esponente intero. Teoremi di densità. Lo spazio duale di H_0^1. Spazi di Sobolev e trasformata di Fourier. Tracce. Cenni sugli spazi di Sobolev a esponente frazionario. Teoremi di Immersione di Sobolev. Disuguaglianza di Morrey. Teoremi di compattezza.
2. Formulazione variazionale di alcuni problemi al bordo per equazioni ellittiche di ordine 2 a coefficienti reali. Problema di Dirichlet e problema di Neumann. Teorema di Lax - Milgram. Teoria della regolarità L^2 delle soluzioni deboli: (i) regolarità all'interno, (ii) regolarità al bordo nel caso del problema di Dirichlet. Mappa Dirichlet a Neumann. Problema inverso dell'inclusione
3. Proprietà di Continuazione Unica e Problema di Cauchy
a) Equazioni nel campo analitico. Teorema di Cauchy Kovalevskaya. Teorema di Holmgren.
b) Definizione di problema ben posto secondo Hadamard
c) La questione dell'unicità e della dipendenza per equazioni a coefficienti non analitici. Stime di stabilità per equazioni ellittiche del secondo ordine. Introduzione al metodo delle stime di Carleman. Disuguaglianza delle tre sfere.