Insegnamento mutuato da: B018799 - VARIABILE COMPLESSA Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum DIDATTICO
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Proprietà omotopiche e omologiche di funzioni olomorfe.
Teorema di rappresentazione di Riemann. Estendibilità al bordo di biolomorfismi.
Teorema di Rosay-Wong per aperti di C. Gruppi di automorfismi non compatti
Introduzione alle superficie di Riemann. Metodi di curvatura in teoria geometrica delle funzioni.
Uniformizzazione di superficie di Riemann.
Approssimazione e Teoria di Runge. Costruzione di funzioni olomorfe: Teoremi di Mittag-Leffler e di Weierstrass, domini di ololomorfia.
W. Fischer - I. Lieb,A Course in Complex Analysis. From Basic Results to Advanced Topics,-Vieweg-Teubner(2011)
O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer (1981)
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw Hill 1979
J. B. Conway, Functions of One Complex Variabl, GTM Springer-Verlag, 1978
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Revisione delle conoscenze di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Introduzione a tematiche avanzate della teoria delle funzioni di variabile complessa
mediante l’uso di tecniche algebriche, geometriche e analitiche.
Competenze acquisite:
Elementi della teoria di una variabile complessa utili ad affrontare temi
avanzati in Analisi, Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Capacità acquisite al termine del corso:
Capacità di utilizzare la teoria di una variabile complessa in Analisi,
Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Tutti i corsi obbligatori della laurea triennale in
Matematica, in particolare il corso prevede la conoscenza della teoria elementare
delle funzioni olomorfe come presentati nel corso di Analisi III.
Corsi raccomandati: Corsi di base della laurea triennale in Algebra,
Analisi e Geometria
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225 (= 9 x 25)
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo
individuale: 153
Numero di ore relative alle attività in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Materiale didattico:
Tutto il materiale didattico necessario sarà reso disponibile nella pagina Moodle del corso
Ricevimento, contatti
vedi pagina istituzionale:
https://www.unifi.it/p-doc2-2013-200010-P-3f2a3d2f34272c-0.html
Modalità di verifica apprendimento
Esame con prova orale
Programma del corso
Richiami sulle proprietà elementari delle funzioni olomorfe.
Omotopia e integrazione lungo curve di funzioni olomorfe.
Semplice connessione e primitive olomorfe. Numero di avvolgimento.
Formula di Cauchy omotopica.
Esistenza di logaritmo olomorfo e di radici di funzioni olomorfe non nulle.
Comportamento locale di funzioni olomorfe, teorema dell'applicazione aperta.
Versione omologica di teorema e della formula di Cauchy.
Proprietà analitiche equivalenti su aperti semplicemente connessi.
Formula di Cauchy per funzioni C^1.
Diseguaglianze di Cauchy versione L^1.
Teorema di Weierstrass, Teorema di Montel, famiglie normali.
Richiami su Teorema dell'Applicazione Aperta e Principio del massimo modulo.
Lemma di Schwarz. Automorfismi del disco unitario, Lemma di Schwarz-Pick, distanza di Moebius.
Sfera di Riemann e proprietà elementari delle trasformazioni di Moebius.
Principio dell'argomento e Teorema di Rouché, Teorema di Hurwitz. Biolomorfismi.
Definizione di superficie di Riemann, ed esempi: la sfera di Riemann ed spazio proiettivo complesso,
teorema della funzione implicita e luoghi di zeri di funzioni olomorfe di due variabili, quozienti e tori complessi;
funzioni olomorfe tra superficie di Riemann.
Proprietà di funzioni olomorfe tra superficie di Riemann.
Funzioni meromorfe su superfici di Riemann, in particolare sulla sfera.
Automorfismi di C e della sfera di Riemann. Teorema di rappresentazione di Riemann e
classificazione degli aperti semplicemente connessi della sfera di Riemann.
Introduzione al problema dell'estensione di biolomorfismi a omeomorfismi delle chiusure.
Punti di frontiera facilmente accessibili.
Estensione di biolomorfismi da un dominio con frontiera con punti facilmente
accessibili al disco a omeomorfismi delle chiusure.
Gruppi di automorfismi di aperti di C e aperti omogenei.
Funzioni picco e loro esistenza in punti regolari della frontiera di aperti di C. Teorema di Rosay-Wong per aperti di C.
Gruppi di automorfismi non compatti e punti di accumulazioni d'orbita al bordo.
Pseudometriche conformi. Curvatura di pseudometriche conformi. Metrica di Poincaré del disco. Lemma di Ahlfors.
Non esistenza di metriche conformi con curvatura strettamente negativa su C, Teorema di Liouville.
Costruzione di una metrica conforme on curvatura strettamente negativa su C meno due punti.
Piccolo Teorema di Picard, Teorema di Landau.
Metrica Sferica: isometrie e distanza. Famiglie normali di applicazioni olomorfe a valori nella sfera di Riemann.
Derivata sferica. Teorema di Marty. Teorema di Montel per applicazioni olomorfe a valori nella sfera di Riemann.
Teorema di Shottky, Grande teorema di Picard.
Pseudometriche conformi non regolari e metriche di supporto e Lemma di Ahlfors in questo caso. Teorema di Bloch.
Uniformizzazione di superficie di Riemann: proprietà analitiche, teoria del potenziale e proprietà geometrico differenziali.
Problemi di Approissimazione e Teoria di Runge. Costruzione di funzioni mediante tecniche classiche
e mediante d-bar:Teoremi di Mittag-Leffler e di Weierstrass; domini di ololomorfia.