Italiano, o inglese se presenti studenti stranieri.
Contenuto del corso
Funzioni a variazione limitata (di una variabile) e assolutamente continue. Analisi funzionale in spazi di Hilbert. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Distribuzioni. Funzioni armoniche. Problemi al contorno
R. Magnanini, Dispense scaricabili da http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/2010.gsm.disp.pdf
Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill.
W. Rudin, Functional analysis, McGraw Hill.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Le idee fondamentali dell'analisi funzionale in spazi di Hilbert, dell'analisi armonica, della teoria delle funzioni e insiemi convessi, le relative tecniche dimostrative ed alcune loro applicazioni rilevanti.
Competenze acquisite:
I metodi di dimostrazione di base dell'analisi funzionale ed armonica ed i collegamenti di queste con altre discipline della matematica.
Capacità acquisite al termine del corso:
Lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi funzionale e armonica e della teoria di base della funzioni e insiemi convessi e di risolvere esercizi e problemi ad esse inerenti.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati) Corsi vincolanti: Analisi Matematica 1, 2 e 3; Geometria 1 e 2. Corsi raccomandati:
Metodi Didattici
CFU: 9. Numero di ore totali del corso: 225 Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 153 Numero di ore relative alle attività in aula: 72 Numero di ore relative ad attività di laboratorio (lezioni in laboratorio): 0 Numero di ore relative ad attività di esercitazioni (in laboratorio e in campo): 0 Numero di ore relative ad attività seminariali: 0 Numero di ore relative ad attività di stage: 0 Numero di ore per prove in itinere: 0
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Non obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale finale in cui lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi reale, funzionale e armonica e risolvere esercizi e problemi ad esse inerenti.
Programma del corso
Complementi di Analisi Reale:
• Il lemma di ricopertura di Vitali.
• Funzioni a variazione limitata di una variabile reale. Prime proprietà.
• Decomposizione di Jordan.
• Derivabilità quasi ovunque di una funzione a variazione limitata.
• Funzioni assolutamente continue.
• Teorema fondamentale del calcolo per funzioni assolutamente continue. Mensurale.
• Derivabilità nel senso delle distribuzioni e spazi di Sobolev.
Analisi funzionale in spazi di Hilbert
• Definizione di prodotto scalare; Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; Identità del parallelogramma.
• Definizione di spazio di Hilbert ed esempi.
• Proiezione su un convesso.
• Sistemi ortonormali. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.
• Completezza di un sistemi ortonormale. Identità di Parseval.
• Funzionali lineari e limitati. Duale di uno spazio di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.
• Convergenza debole.
• Teorema di Banach-Alaoglu.
• I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram.
• Teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze.
• Teorema di Banach-Steinhaus.
• Operatori lineari e continui.
• Operatori compatti: esempi e prime proprietà.
• Teorema dell'alternativa di Fredholm.
• Spettro di un operatore compatto.
• Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico e compatto.
Serie di Fourier
• Polinomi trigonometrici.
• Serie e coefficienti di Fourier.
• Disuguaglianza di Bessel.
• Lemma di Riemann-Lebesgue.
• Nucleo di Dirichlet.
• Criteri del Dini e di Jordan.
• Convergenza uniforme della serie di Fourier.
• Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
• Identità di Parseval.
Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.
• Comportamento della trasformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni.
• Legame tra regolarità di f e decadimento della sua trasformata
• Lo spazio di Schwarz. Derivazione e trasformata.
• Trasformata di una Gaussiana.
• Teorema di Plancherel ed identità di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
• Formula di inversione.
Teoria di base delle distribuzioni.
• Spazio delle funzioni test e sua topologia.
• Definizione di distribuzione e del suo ordine.
• Spazio delle distribuzioni e sua topologia.
• Derivata distribuzionale. Spazi di Sobolev.
• Operazioni sulle distribuzioni.
• Regolarità della convoluzione.
• Caratterizzazione dello spazio delle distribuzioni a supporto compatto. Spazio metrico delle funzioni infinitamente differenziabili.
• Teorema fondamentale per le distribuzioni. Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti.
• Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier.
Funzioni armoniche
• Proprietà della media per le funzioni armoniche.
• Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.
• Principio di massimo.
• Principio di Hopf.
• Disuguaglianza di Harnack.
• Teorema di Liouville.
• Teoremi di convergenza di Harnack.
Problemi al contorno per le equazioni di Poisson e Laplace
• Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione.
• Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
• Teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin.
• Problemi al contorno in domini illimitati. Inversione per raggi vettori reciproci e trasformazione di Kelvin.
• Identità di Stokes e definizione della funzione di Green.
• Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.
• Simmetria della funzione di Green.
• Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera.
• Analiticità delle funzioni armoniche.
• Funzioni subarmoniche e superarmoniche.
• Metodo di Perron per l’esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in domini limitati.
• Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.
• Esistenza della funzione di Green.
• Principio di Dirichlet e teorema di Lax-Milgram.
• Conversione di un problema di Dirichlet in un’equazione integrale e applicazione del teorema dell'alternativa di Fredholm.
• Autovalori ed autofunzioni dell’operatore di Laplace.