La teoria elementare degli insiemi. Assiomi di Zermelo e Fraenkel.
Numeri cardinali e ordinali. Induzione transfinita. Forma normale di Cantor.
L’assioma della scelta, il lemma di Zorn, il principio del buon ordinamento. Enunciati equivalenti e conseguenze
Equiscomponibilità ed equisezionabilità. Il teorema di Banach-Tarski.
Elementi di teoria analitica dei numeri.
1) Keith Devlin - The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory;
2) Carlo Casolo - Appunti di Teoria elementare dei numeri;
3) Francesco Fumagalli, Emanuele Pacifici - Appunti di Teoria degli insiemi;
Gli ultimi due testi saranno resi disponibili gratuitamente in formato pdf sulla piattaforma e-learning dell'Università degli Studi di Firenze nella pagina dedicata all'insegnamento.
Obiettivi Formativi
Questo insegnamento vuole sottolineare alcuni aspetti della formazione matematica che sono essenziali per un futuro insegnante.
In particolare, alla fine del corso lo studente dovrà avere acquisito le seguenti competenze di base:
(1) conoscenza degli assiomi fondamentali della teoria degli insiemi, in una versione leggermente rivista rispetto a quella originale di Zermelo e Fraenkel;
(2) conoscenza dell'assioma della scelta e degli assiomi (ad esso equivalenti) noti come "principio del buon ordine" e "lemma di Zorn";
(3) conoscenza di altri assiomi equivalenti all'assioma della scelta;
(4) familiarità con le principali conseguenze dell'accettazione (oppure, in alternativa, del rifiuto) dell'assioma della scelta;
(5) familiarità con la nozione di "cardinalità" e con il confronto fra cardinalità;
(6) conoscenza delle differenze fra equisezionabilità ed equiscomponibilità di figure geometriche;
(7) conoscenza di alcuni argomenti di teoria dei numeri.
Alla fine del corso, inoltre, lo studente dovrà avere acquisito le seguenti capacità:
(1) esporre correttamente e con linguaggio adeguato gli assiomi fondamentali della teoria degli insiemi;
(2) saper costruire, attraverso gli assiomi della teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali, l'insieme dei numeri interi e l'insieme dei numeri razionali;
(3) saper definire nell'insieme dei numeri interi l'usuale relazione di ordine, l'operazione di somma, l'operazione di prodotto e la divisione euclidea;
(4) saper applicare il lemma di Zorn nelle dimostrazioni matematiche;
(5) saper giustificare il principio per cui due poligoni equivalenti sono equisezionabili;
(6) saper affrontare alcuni problemi di teoria dei numeri.
Prerequisiti
È raccomandata una conoscenza di base dell'algebra astratta, come quella che si acquisisce negli insegnamenti di Algebra I e Algebra II.
Metodi Didattici
L'insegnamento consiste in lezioni frontali, nelle quali viene esposta la materia oggetto del corso con un'attenzione particolare all'individuazione di problemi elementari ma non semplici che possano anche essere affrontati nella scuola secondaria per stimolare l'interesse degli allievi.
Quesiti (anche tratti da gare matematiche) verranno proposti durante la trattazione degli argomenti di geometria e di teoria dei numeri per essere discussi e risolti insieme.
Durante le lezioni è incoraggiato l'intervento degli studenti con osservazioni, domande e richieste di approfondimento.
Altre Informazioni
L'insegnamento assegna 9 crediti formativi universitari.
Sono previste 72 ore di lezione frontale. Non è prevista attività di laboratorio.
La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata. Comunque, il materiale che viene via via reso disponibile nella pagina e-learning dell'insegnamento dovrebbe risultare sufficiente per una adeguata preparazione.
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale.
Programma del corso
L'assioma di Leibniz. Le parole primitive. L'assioma di estensione. L'assioma-schema di separazione. L'insieme vuoto. L'assioma delle coppie. L'assioma di regolarità. L'assioma dell'unione. Intersezione di insiemi. L'assioma dei sottoinsiemi. Complementare. Leggi di De Morgan. Coppie ordinate. Famiglie di insiemi.
L'assioma dell'infinito. L'insieme dei numeri naturali. Transitività. Gli assiomi di Peano. Definizioni per induzione. La somma nell'insieme dei numeri naturali. Il prodotto nell'insieme dei numeri naturali. Ordine nell'insieme dei numeri naturali. La divisione euclidea nell'insieme dei numeri naturali.
I numeri interi. I numeri razionali. Verso i numeri reali: l'incommensurabilità fra lato e diagonale del quadrato. L'irrazionalità di "pi greco".
L'assioma della scelta. Il lemma di Zorn. Il principio del buon ordine. Dal buon ordine all'assioma della scelta. Insiemi ben fondati. Applicazioni del principio generalizzato di induzione agli insiemi bene ordinati. Altri principi equivalenti all'assioma della scelta. L'assioma della scelta e la misura secondo Lebesgue.
Equipotenza. Cardinalità. Insiemi finiti e insiemi numerabili. Confronto tra cardinalità. Cardinalità dell'unione e del prodotto cartesiano.
Equisezionabilità nel piano. Alcuni risultati sull'equisezionabilità. Equisezionabilità e superficie.
Richiami sulle azioni di un gruppo. Equiscomponibilità nello spazio. Un criterio di equiscomponibilità: il teorema di Banach-Schröder-Bernstein. Richiami sui gruppi liberi. Un gruppo libero generato da due rotazioni della sfera. Il teorema di Banach-Tarski.
Questioni di divisibilità nei numeri interi. Funzioni moltiplicative. Teoremi sulle congruenze di Euler, Hensel, Gauss, con applicazioni alle equazioni diofantine.
Cenni sulla teoria additiva dei numeri. Teorema di Lagrange, problema di Waring, metodo di Schnirelman.
Problemi legati alle somme di sottoinsiemi dell'insieme dei numeri interi relativi.
Cenni sulla distribuzione dei numeri primi.