Introduzione alla teoria matematica del controllo, con un'introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori.
Verra' trattata una scelta di alcuni temi classici ma di rilievo attuale, quali
-- controllabilita', problemi di controllo ottimale e in particolare di tempo minimo (in contesto finito-dimensionale);
-- controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati;
-- equazioni di evoluzione e semigruppi; proprieta' di stabilita'
- J. Macki, A. Strauss, Introduction to Optimal Control Theory, Springer-Verlag, New York, 1982
- J. Zabczyk, Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhauser Boston, 2008
- Per la teoria dei semigruppi si potra' fare riferimento ad ottimi materiali (on-line, liberi) ad opera di vari autori quali ad esempio Alessandra Lunardi, Igor Chueshov, Paolo Acquistapace.
- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M.C. Delfour, S.K. Mitter, Representation and control of infinite dimensional systems, Birkhauser, Boston 2007.
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza dei principali temi e problemi della teoria classica del controllo per sistemi descritti da equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e dei metodi per lo studio di problemi di controllo
Capacita' acquisite al termine del corso: capacita' di comprendere e/o formalizzare semplici problemi di controllo in dimensione finita e infinita, di proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, di interpretarne gli esiti. Capacita' di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Fondamenti della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie; elementi introduttivi alle Equazioni a Derivate Parziali; spazi L^p.
Elementi di Analisi funzionale: spazi di Sobolev, spazi di Hilbert e operatori lineari.
Precedenze (vincolanti): Analisi Matematica III.
Suggeriti: Analisi Funzionale, Istituzioni di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula, attivita' seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Una lezione di 45 minuti su un tema del corso o strettamente attinente, assegnato per tempo e concordato con le/gli allieve/i, scelto da una lista che sara' resa esplicita all'inizio del corso.
Una breve prova per la conferma dell'acquisizione del linguaggio e dei metodi di risoluzione di semplici problemi, con poche domande scritte o orali.
Programma del corso
Il corso intende fornire un'introduzione alla teoria del controllo di sistemi descritti da Equazioni Differenziali Ordinarie e da Equazioni a Derivate Parziali (EDP). Verra' proposta una scelta di temi classici ma di rilievo attuale, quali
i) controllabilita', controllo ottimale e piu' specificamente problemi di tempo minimo (in contesto finito-dimensionale);
ii) controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati per sistemi finito- e infinito-dimensionali. Teoria dei semigruppi di operatori. EDP di evoluzione e semigruppi; comportamento asintotico, stabilita'. Controllo ottimale di EDP lineari.
Parte i) (32 ore): Formulazione matematica dei problemi di controllo (astratta ed in termini di Equazioni Differenziali Ordinarie), nozioni di controllabilità e problemi di controllo ottimo. Esistenza e sintesi di un controllo ottimale. Controllabilità: Studio del caso lineare, del caso non-lineare autonomo e di alcuni casi particolari.
Problemi di controllo ottimo di tipo “Tempo minimo”: studio di problemi di controllo ottimo con equazione di stato lineare, in cui si deve raggiungere il bersaglio nel minor tempo possibile. Teoremi di esistenza generali. Condizioni necessarie: Caratterizzazione dei controlli ottimali, condizioni di ottimalità e principio del massimo di Pontryagin. Programmazione dinamica.
Parte ii) (40 ore): Il problema del regolatore quadratico: motivazioni ed esempi illustrativi in dimensione finita e infinita, i molti ambiti di applicazione (ingegneria, economia, medicina, scienze sociali, ecc.).
Controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati in dimensione finita, sintesi del controllo ottimale. Introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori: semigruppi fortemente continui, generatori di semigruppi. Teoremi di generazione: Teorema di Hille-Yosida, Teorema di Lumer-Phillips. Semigruppi analitici. Gruppi di operatori.
Equazioni lineari: definizioni di soluzione per il problema omogeneo e non omogeneo.
*[Stabilita' uniforme e stabilita' forte, tassi di decadimento.]
Il ruolo dei semigruppi nell'analisi di EDP di tipo parabolico, iperbolico, e di sistemi di EDP accoppiate; esempi illustrativi. Controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati con operatori non limitati (cenni).