B018779 - PROBABILITA'

Teoremi Limite: legge dei grandi numeri e limite centrale. Teoria delle grandi deviazioni. Teoria della probabilita` rigorosa. Convergenza debole, Funzioni caratteristiche, Decomposizione delle leggi di probabilita`, Probabilita` condizionale, Martingale. Processi stocastici: Poisson, giochi d'azzardo, Catene di Markov, passeggiate aleatorie (Random walk), Branching, Moto browniano.

1) Rosenthal, A first look at rigorous probability theory.
2) Frank den Hollander, Large deviations, Capitoli 1 e 2.
3) Caravenna Dai Pra, Probabilita`.
4) Baldi, Calcolo delle Probabilità. Capitolo 5.
5) Sheldon Ross, Calcolo delle probabilità.
6) van der Hofstad, random graphs

Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze, capacita` di comprensione e di applicazione dei concetti e risultati riguardanti la teoria della probabilita` per variabili aleatorie generali e processi stocastici. Il corso intende anche sviluppare le capacità ad applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione, al calcolo delle probabilita` richieste da situazioni concrete e al calcolo delle leggi (o distribuzioni) di variabili aleatorie generiche che possono non rientrare nei modelli noti. Il Corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze, capacita` di comprensione dei teoremi limite con la loro dimostrazione e con particolare attenzione al tipo di ipotesi e ai diversi tipi di convergenza che si possono ottenere. Il corso intende sviluppare la capacita` di operare stime asintotiche ed di essere in grado di applicare i risultati a problemi concreti e alla stima di probabilita` che non possono essere calcolate esattamente. Il corso intende sviluppare la capacita` di calcolare quantita` interessanti per processi di Poisson e le catene di Markov e fornisce metodi ed esempi per la risoluzione di esercizi che richiedono la modellizzazione di una situazione concreta con questi processi. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per esprimenre in linguaggio matematico i risultati dimostrati e la giustificazione dei metodi adottati per la risoluzione degli esercizi. Il corso intende anche svilippare l'autonomia e la riflessione dello studente sui possibili risultati piu` approriati a seconda della situazione concreta su cui e` richiesto di lavorare.

Derivazione e integrazione di funzioni in una o piu` variabili. Nozioni di base di algebra lineare e saper operare con le matrici.
Nozioni di probabilita` di base.

Lezione frontale e discussione e correzione di esercizi assegnati per casa.

L'esame consiste in uno scritto e un orale per sessione. Nello scritto saranno presenti domande aperte di due tipi. Il primo tipo in cui lo studente dovra` esporre e dimostrare risultati spiegati durante le lezioni, con lo scopo di verificare la conoscenza, comprensione e la qualita` dell'esposizione di tali risultati. Un secondo tipo nel quale lo studente dovra` dimostrare di saper applicare i risultati spiegati per risolvere problemi concreti, dandone giustificazione usando formule e linguaggio scietifico corretto.
Durante l'orale lo studente dovra` esporre concetti e dimostrare risultati spiegati durante le lezioni, con lo scopo di verificare la conoscenza, comprensione e la qualita` dell'esposizione orale di tali risultati. Inoltre, tramite delle brevi domande sui collegamenti tra gli argomenti e su possibili strategie per adattare la dimostrazione sotto ipotesi diverse, si vuole indagare l'autonomia e la riflessione dello studente sugli argomenti trattati.

1) Teoremi Limite: legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale enunciato e discussione. Il metodo dell'approssimazione Normale.
-Commento: Questi argomenti saranno trattati a diversi livelli. In primo luogo sono trattati senza lo strumento tecnico e avanzato della teoria della misura. In secondo luogo dopo aver studiato teoria della probabilita` rigorosa vedremo che sara' possibile dimostrarne versioni piu' forti.

-Libri di riferimento per la prima trattazione:
3) Caravenna Dai Pra Probabilita`,
5) Sheldon Ross Calcolo delle Probabilità,
-Libri di riferimento per la seconda trattazione:
1) Rosenthal, A first look at rigorous probability theory.


2) Teoria delle grandi deviazioni.
a) Teoria delle grandi deviazioni di S_n/n per variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite.
b) Teoria di grandi deviazioni per la misura empirica teorema di Sanov.

-Libri di riferimento per la trattazione:
Large deviations, Frank den Hollander Capitoli 1 e 2.


3) Teoria rigorosa delle Probabilita' - teoria della misura
Teoria della probabilita' utilizzando i concetti e teoremi di teoria della misura.

-Libri adottati:
1) Rosenthal, A first look at rigorous probability theory.

Capitolo 1: la necessita' di teoria della misura in probabilita'. La distribuzione uniforme e insiemi non misurabili.
Capitolo 2 Triple di probabilita': Definizioni base, Costruzione delle triple di probabilita', Teorema di estensione, Variabili aleatorie discrete. Costruzione della distribuzione uniforme su [0,1], Estensioni del teorema di estensione, Lanci ripetuti di moneta.
Capitolo 3: Variabili aleatorie, Indipendenza, Continuita' delle probabilita', eventi limite, Sigma algebra terminale e teorema di Kolmogorov.
Capitolo 4: Speranza matematica o valore aspettato per veriabili aleatorie semplici, Speranza matematica o valore aspettato per veriabili aleatorie non negative, Speranza matematica o valore aspettato per veriabili aleatorie qualsiasi. Collegamenti con l'integrazione.
Capitolo 5: Disuguaglianze, Convergenza di variabili aleatorie, Legge dei grandi numeri, Eliminazione delle condizioni sui momenti Legge dei grandi numeri debole.
Capitolo 6: distribuzione di variabili aleatorie. Teorema del cambio di variabile. Esempi di distribuzioni.
Capitolo 9: Teoremi limite, differenziare la speranza matematica, Funzione generatrice di momenti. Teorema di Fubini e convoluzione
Capitolo 10: Definizione di convergenza debole e equivalenze. Collegamenti con altre definizioni di convergenza.


4) Processi stocastici: Poisson, giochi d'azzardo, Catene di Markov, passeggiate aleatorie (Random walk), Branching, Moto browniano

4a) Argomento Processo di Poisson definizione e proprieta` collegamenti variabili aleatorie studiate in precedenza.
-Libro adottato Calcolo delle probabilita` Ross,
Capitolo 9: Processo di Poisson Definizione, proprieta` formula di Erlang-Poisson.

4b) Argomento Processi di giochi d'azzardo
-Libro di riferimento Rosenthal
Capitolo 7: Processi stocastici, teorema di esistenza, scommesse e rovina del giocatore. Strategie di gioco.

4c) Argomento catene di Markov e Passeggiate aleatorie (Random walks)
-Libro di riferimento Rosenthal
Capitolo 8: Definizione di Catene di Markov ed Esempi. Passeggiata aleatoria e Random walk. Teorema di esistenza delle catene di Markov, transienza riducibilita` e irriducibilita`. Distribuzioni stazionarie e convergenza. Esistenza di distribuzioni stazionarie, esempi ed esercizi. Catene di Markov con spazio degli stati finiti. Esempi ed esercizi.

4d) Argomento Branching processes,
-Libro di riferimento vd Hofstad Capitolo 3.

4e) Argomento: Processi stocastici generali e Moto browniano.
Libro di riferimento Rosenthal
Capitolo 15.


5) Convergenza debole, Funzioni caratteristiche, Decomposizione delle leggi di probabilita`, Probabilita` condizionale, Martingale.
-Libro di riferimento Rosenthal
Capitolo 10: Definizione di convergenza debole e equivalenti. Confronto con altri tipi di converse.
Capitolo 11: Funzioni caratteristiche e Teorema del limite centrale, Generalizzazione del teorema del limite centrale e Metodo dei momenti.
Capitolo 12: Decomposizione di misure di probabilita`, Decomposizione di Lebesgue e Hahn. Enunciato e dimostrazione della decomposizione di Hahn.
Teorema di Decompsizione di Lebesgue. Decomposizione con misure generali.
Capitolo 13: Probabilita` condizionata e valore aspettato condizionale. Condisionare su una variabile aleatoria. Condizionamento su una sub-sigma-algebra. Varianza condizionale.
Capitolo 14: Martingale. Tempi di attesa. Convergenza di Martinagale (Teorema di Wald).