La teoria elementare degli insiemi negli assiomi classici di Zermelo e Fraenkel. L’assioma della scelta: vari enunciati e conseguenze. Equiscomponibilità ed equisezionabilità. Il teorema di Banach-Tarski. Costruzioni con riga e compasso. Costruzioni col piegamento della carta. Paradossi matematici. Le curve algebriche che risolvono problemi classici. Elementi di teoria dei numeri.
M. Barlotti "Teoria degli insiemi" e C. Casolo "Appunti di teoria elementare dei numeri" – appunti disponibili nella pagina e-learning dell’insegnamento.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Gli assiomi di Zermelo e Fraenkel. Il teorema di Banach-Tarski. Caratterizzazione dei numeri costruibili con riga e compasso. Alcune costruzioni col piegamento della carta.
Competenze:
La costruzione assiomatica della teoria degli insiemi. Costruzioni con riga e compasso. Costruzioni col piegamento della carta. Interpretazione di alcuni paradossi matematici. Il metodo delle coordinate per la soluzione di problemi matematici.
Capacità acquisite al termine del corso:
Saper costruire gli insiemi numerici per via assiomatica. Saper suddividere in trenta parti una sfera e costruire con quei pezzi due copie isometriche della stessa sfera. Eseguire costruzioni con riga e compasso. Saper trisecare un angolo col piegamento della carta. Saper usare il metodo delle coordinate per risolvere problemi geometrici e più in generale matematici.
Prerequisiti
Nessuno. Raccomandata la frequenza di Algebra I e II e una certa familiarità con il metodo delle coordinate nel piano.
Metodi Didattici
Lezioni frontali.
Altre Informazioni
La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Modalità di verifica apprendimento
Colloquio sui contenuti del programma svolto.
Programma del corso
La teoria degli insiemi negli assiomi classici di Zermelo e Fraenkel. Costruzione degli insiemi N, Z, Q. Cardinalità. Paradossi matematici. Il paradosso di Banach-Tarski. Caratterizzazione dei numeri costruibili con riga e compasso. Costruzioni geometriche col piegamento della carta.
Elementi di teoria dei numeri: Funzioni moltiplicative; funzione di Moebius, funzione di Eulero, funzioni numero e somma dei divisori positivi; numeri perfetti: congruenze; equazioni alle congruenze: lemma di Hensel; residui quadratici; simbolo di Legendre; legge di reciprocita' quadratica; interi somma di due, tre e quattro quadrati; problema di Waring; funzioni di Chebyshev: postulato di Bertrand.