Spazi di Banach. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Spazi di Hilbert: teorema della proiezione ed applicazioni, sistemi ortonormali completi. Dualità, topologie deboli. Separabilità e riflessività. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietà. Teoremi di immersione. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Teoremi di punto fisso.
-H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Appl., Liguori Ed., Napoli,1986
-Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Ed. John Wiley & Sons, 1989
L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Vol.19
-Elvira Mascolo, Appunti di Analisi Funzionale
reperibili all'indirizzo: http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Obiettivi Formativi
Conoscenza dei teoremi principali relativi ai funzionali ed operatori lineari. Convergenza debole e le applicazione alla ricerca dei minimi di funzionali anche integrali. Teoremi principali negli spazi di Hilbert. Spazi di Sobolev e applicazioni ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Applicazioni dei teoremi di punto fisso alle equazioni differenziali a derivate parziali.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: Analisi Matematica III
Corsi raccomandati: Istituzione di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225 (= 9x 25)
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 153
Numero di ore relative alle attività in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Modalità di verifica apprendimento
L’esame finale ha lo scopo di accertare l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità tramite lo svolgimento d alcuni esercizi .
La prova orale consiste in una conversazione tecnica con il docente volta a far emergere la capacità di affrontare autonomamente un problema di progettazione.
Scopo di questa graduazione analitica della prestazione dello studente è quello di valutare in modo affidabile il livello di raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi sopra esposti
Programma del corso
Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni.
Spazi di Hilbert: teorema della proiezione, dualità, cenni sui sistemi ortonormali. Spazi di Banach: teoria ed esempi notevoli. Dualità, topologie deboli. Separabilità e riflessività. Spazi di Sobolev in una dimensione: derivate deboli e principali proprietà. Formulazione variazionale delle equazioni differenziali ordinarie. Spazi di Sobolev in più dimensioni.Formulazione variazionale delle equazioni differenziali a derivate parziali. Metodi Diretti del Calcolo delle Variazioni. Teoremi di punto fisso ed Applicazioni