Spazi di Hilbert: proprietà geometriche e topologiche; duale; operatori limitati e compatti; teorema dell'alternativa; teorema spettrale. Serie di Fourier: convergenza puntuale. Trasformata di Fourier: teoria L2. Derivata distribuzionale; distribuzioni a supporto compatto; teorema fondamentale del calcolo. Funzioni armoniche: proprietà della media; principio di massimo; disuguaglianza di Harnack; analiticità. Operatore di Laplace: esistenza ed unicità per il problema di Dirichlet; autovalori.
R. Magnanini, Dispense del corso di Istituzioni di Analisi Superiore (in Italiano), scaricabili da http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/2010.gsm.disp.pdf
Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Le idee fondamentali dell'analisi funzionale in spazi di Hilbert, della teoria delle distribuzioni, dell'analisi armonica, le relative tecniche dimostrative ed alcune loro applicazioni rilevanti.
Competenze acquisite:
I metodi di dimostrazione di base dell'analisi funzionale ed armonica ed i collegamenti di queste con altre discipline della matematica.
Capacità acquisite al termine del corso:
Lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi funzionale e armonica e della teoria delle distribuzioni e di risolvere esercizi e problemi ad esse inerenti.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: Analisi Matematica 1, 2 e 3; Geometria 1 e 2.
Corsi raccomandati:
Metodi Didattici
CFU: 9
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 153
Numero di ore relative alle attività in aula: 72
Numero di ore relative ad attività di laboratorio (lezioni in laboratorio): 0
Numero di ore relative ad attività di esercitazioni (in laboratorio e in campo): 0
Numero di ore relative ad attività seminariali: 0
Numero di ore relative ad attività di stage: 0
Numero di ore per prove in itinere: 0
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Strumenti a supporto della didattica:
http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/iasII09.html
Orario di ricevimento:
Su appuntamento
Recapito:
Viale Morgagni, 67/a - 50134 Firenze
Tel: 055 4237164
Fax: 055 4237165
E-mail: rolando.magnanini@unifi.it rolando.magnanini@math.unifi.it
Web: http://web.math.unifi.it/users/magnanin/
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale finale.
Programma del corso
Analisi funzionale in spazi di Hilbert
• Definizione di prodotto scalare; Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; Identità del parallelogramma.
• Definizione di spazio di Hilbert ed esempi.
• Proiezione su un convesso.
• Sistemi ortonormali. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.
• Completezza di un sistemi ortonormale. Identità di Parseval.
• Funzionali lineari e limitati. Duale di uno spazio di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.
• Convergenza debole.
• Teorema di Banach-Alaoglu.
• I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram.
• Teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze.
• Teorema di Banach-Steinhaus.
• Operatori lineari e continui.
• Operatori compatti: esempi e prime proprietà.
• Teorema dell'alternativa di Fredholm.
• Spettro di un operatore compatto.
• Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico e compatto.
Serie di Fourier
• Polinomi trigonometrici.
• Serie e coefficienti di Fourier.
• Disuguaglianza di Bessel.
• Lemma di Riemann-Lebesgue.
• Nucleo di Dirichlet.
• Criteri del Dini e di Jordan.
• Convergenza uniforme della serie di Fourier.
• Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
• Identità di Parseval.
• Altri tipi di convergenza. Nuclei di Fejer e di Poisson.
• Approssimazione uniforme mediante polinomi: teorema di Weierstrass.
Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.
• Comportamento della trasformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni.
• Lo spazio di Schwarz. Derivazione e trasformata.
• Trasformata di una Gaussiana.
• Teorema di Plancherel ed identità di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
• Formula di inversione.
• Nuclei di sommabilità: Dirichlet, Fejer, Gauss-Weiestrass, Abel-Poisson.
• Trasformata del nucleo di Poisson.
• La formula di addizione di Poisson.
• Soluzione di alcuni problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali per separazione delle variabili e mediante la trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore.
Distribuzioni
• Spazio delle funzioni test e sua topologia.
• Definizione di distribuzione e del suo ordine.
• Spazio delle distribuzioni e sua topologia.
• Derivata distribuzionale. Spazi di Sobolev.
• Operazioni sulle distribuzioni.
• Regolarità della convoluzione.
• Caratterizzazione dello spazio delle distribuzioni a supporto compatto. Spazio metrico delle funzioni infinitamente differenziabili.
• Teorema fondamentale per le distribuzioni. Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti.
• Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier.
Funzioni armoniche
• Proprietà della media per le funzioni armoniche.
• Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.
• Principio di massimo.
• Principio di Hopf.
• Disuguaglianza di Harnack.
• Teorema di Liouville.
• Teoremi di convergenza di Harnack.
• Maggiorazioni delle derivate.
Problemi al contorno per le equazioni di Poisson e Laplace
• Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione.
• Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
• Teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin.
• Problemi al contorno in domini illimitati. Inversione per raggi vettori reciproci e trasformazione di Kelvin.
• Identità di Stokes e definizione della funzione di Green.
• Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.
• Simmetria della funzione di Green.
• Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera.
• Analiticità delle funzioni armoniche.
• Funzioni subarmoniche e superarmoniche.
• Metodo di Perron per l’esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in domini limitati.
• Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.
• Esistenza della funzione di Green.
• Principio di Dirichlet e teorema di Lax-Milgram.
• Conversione di un problema di Dirichlet in un’equazione integrale e applicazione del teorema dell'alternativa di Fredholm.
• Autovalori ed autofunzioni dell’operatore di Laplace.