Varietà differenziabili. Germi di funzioni. Derivazioni e spazio tangente ad una varietà differenziabile. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di vettori. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali. Fibrati a fibra una varietà differenziabile. Varietà riemanniane. Forme differenziali. Gruppi di Coomologia di deRham. Connessioni. Curvatura. Connessioni nel fibrato tangente. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo e geodetiche.
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.
S. Helgason, DIFFERENTIAL GEOMETRY, LIE GROUPS AND SYMMETRIC SPACES, Academic Press, 1978.
W. M. Boothby, AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND RIEMANNIAN GEOMETRY, Academic Press, 1975.
Obiettivi Formativi
Il Corso intende fornire conoscenze e capacita` tecniche di base in Geometria Differenziale delle varieta` e dei fibrati. Gli argomenti sviluppati nel Corso e le capacita` tecniche messe a punto sono necessarie, o comunque molto importanti, per un apprendimento accurato di un largo spettro di argomenti avanzati di matematica, per esempio di geometria algebrica, geometria differenziale e riemanniana, analisi reale e complessa, fisica matematica, topologia differenziale.
Prerequisiti
Sono prerequisiti la conoscenza di argomenti di base in analisi in una e piu` variabili reali, di algebra lineare, di topolgia generale (compattezza, connessione, continuita`), di geometria differenziale delle superficie dello spazio a tre dimensioni.
Metodi Didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità di verifica apprendimento
Prove scritte ed orali
Programma del corso
Atlanti, atlanti massimali, strutture differenziabili. Varietà differenziabili. La sfera di Riemann. Germi di funzioni. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali. Equivalenza debole e forte tra fibrati e teorema di struttura. Fibrati a fibra una varietà differenziabile e gruppo di struttura ungeuppo di Lie. Operazioni sui fibrati vettoriali, con particolare riferimento al prodotto tensore di fibrati. Metriche lungo le fibre di un fibrato. Varietà riemanniane. Forme differenziali su una varietà differenziabile. Costruzione dei gruppi di Coomologia di deRham di una varietà differenziabile e loro significato. Differenziazioni covarianti e connessioni lungo le fibre di un fibrato vettoriale. Curvatura di una connessione. Connessioni nel fibrato tangente. La connessione di Levi-Civita di una una varietà riemanniana. Trasporto parallelo e geodetiche.