Spazi di Banach. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Spazi di Hilbert: teorema della proiezione ed applicazioni, sistemi ortonormali completi. Teoremi di punto fisso. Dualita’, topologie deboli. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprieta’. Teoremi di immersione. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Calcolo delle Variazioni: Equazione di Euler-Lagrange, Principio di Dirichlet, Metodi Diretti, Problema delle superfici minime.
H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Appl., Liguori Ed., Napoli,1986
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Ed. John Wiley & Sons, 1989
Elvira Mascolo, Appunti di Analisi Funzionale
reperibili all'indirizzo:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Conoscenza dei teoremi principali relativi ai funzionali ed operatori lineari. Convergenza debole e le applicazione alla ricerca dei minimi di funzionali anche integrali. Teoremi principali negli spazi di Hilbert. Spazi di Sobolev e applicazioni ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Applicazioni al Calcolo delle Variazioni.
Competenze acquisite:
Studio della teoria dell'Analisi Funzionale con un approccio che tenga conto del suo ruolo fondamentale nella risoluzione di problemi matematici legati alla matematica applicata e alla fisica.
Capacita’ acquisite al termine del corso:
Risoluzione di problemi astratti su spazi normati, di Banach e di Hilbert. Risoluzione di problemi ai limiti per equazioni differenziali con metodi variazionali negli spazi di Sobolev.
Prerequisiti
Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: Analisi Matematica III
Corsi raccomandati: Istituzione di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225 (= 9x 25)
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo
individuale: 153
Numero di ore relative alle attivita’ in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Strumenti a supporto della didattica:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Orario di ricevimento:
Mercoledì ore 14:30-16 ed a richiesta dello studente.
Dipartimento di Matematica U.Dini
Viale Morgagni 67/a, Firenze
Sviluppo storico dell'analisi funzionale. Spazi nornati e di Banach. Spazi duali. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Spazi riflessivi e separabili. Problema della minima norma e teoria della dualita’. Forma geometrica del teorema di Hahn- Banach. Operatori Lineari. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steihaus. Teorema dell'applicazione aperta. Teorema del grafico chiuso. Teoremi di punto fisso in spazi di Banach. Topologia debole e debole* in spazi normati. Funzioni convesse e semicontinue. Proprieta’ delle topologie deboli ed applicazioni. Spazi Lp.. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Funzioni test e regolarizzate. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione ed applicazioni. Forme bilineari e teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram ed applicazioni. Sistemi ortonormali completi. Spazi di Sobolev. Distribuzioni e derivate deboli. Teoremi di immersione ed immersione compatta. Metodi variazionali per le equazioni differenziali. Regolarita’ delle soluzioni. Calcolo delle Variazioni. Equazione di Euler-Lagrange. Principio di Dirichlet. Metodi Diretti. Superfici Minime. Condizione della pendenza limitata.