Spazi di Banach. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Spazi di Hilbert: teorema della proiezione ed applicazioni, sistemi ortonormali completi. Dualità, topologie deboli. Separabilità e riflessività. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietà. Teoremi di immersione. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Calcolo delle Variazioni: Equazione di Euler-Lagrange, Principio di Dirichlet, Metodi Diretti, Problema
H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Appl., Liguori Ed., Napoli,1986
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Ed. John Wiley & Sons, 1989
Elvira Mascolo, Appunti di Analisi Funzionale
reperibili all'indirizzo:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Conoscenza dei teoremi principali relativi ai funzionali ed operatori lineari. Convergenza debole e le applicazione alla ricerca dei minimi di funzionali anche integrali. Teoremi principali negli spazi di Hilbert. Spazi di Sobolev e applicazioni ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Applicazioni al Calcolo delle Variazioni.
Competenze acquisite:
Studio della teoria dell'Analisi Funzionale con un approccio che tenga conto del suo ruolo fondamentale nella risoluzione di problemi matematici legati alla matematica applicata e alla fisica.
Capacità acquisite al termine del corso:
Risoluzione di problemi astratti su spazi normati, di Banach e di Hilbert. Risoluzione di problemi ai limiti per equazioni differenziali con metodi variazionali negli spazi di Sobolev.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi Matematica III
Corsi raccomandati: Istituzione di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225 (= 9x 25)
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 153
Numero di ore relative alle attività in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Strumenti a supporto della didattica:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Orario di ricevimento:
Mercoledì ore 14:30-16 ed a richiesta dello studente.
Dipartimento di Matematica U.Dini
Viale Morgagni 67/a, Firenze
Recapito:
Spazi di Banach. Spazi duali. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus e applicazioni. Teorema del grafico chiuso. Spazi di Hilbert: teorema della proiezione e teorema di Stampacchia per le forme bilineari, Teorema di Lax-Milgram, sistemi ortonormali completi. Dualità, topologie deboli. Principali teoremi per le topologie deboli e deboli*. Separabilità e riflessività. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietà ́. Teoremi di immersione. Formulazione variazionale delle equazioni differenziali. Calcolo delle Variazioni. Equazione di Euler-Lagrange. Pricipio di Dirichlet. Metodi Diretti. Superfici Minime.