Italiano, o inglese se presenti studenti stranieri.
Contenuto del corso
Funzioni a variazione limitata (di una variabile) e assolutamente continue.
Analisi funzionale in spazi di Hilbert. Serie di Fourier. Trasformata di
Fourier. Distribuzioni. Funzioni armoniche. Problemi al contorno per le equazioni di Laplace e Poisson.
R. Magnanini, Dispense del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, 2023
(il file pdf sarà messo a disposizione dal docente).
Altri testi consigliati: Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in
Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics,
AMS, Providence, RI, USA.
Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing,
Providence, RI, USA.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics,
AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill.
W. Rudin, Functional analysis, McGraw Hill.
Obiettivi Formativi
Il corso ha lo scopo di fornire allo studente le conoscenze e tecniche di base per l'avviamento alla ricerca nel campo dell'analisi matematica, delle equazioni a derivate parziali e le loro applicazioni. Intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in vari ambiti. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie nel lavoro collaborativo. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono indispensabili per il proseguimento degli studi nel CdS ed anche a livello di dottorato in qualunque ambito scientifico.
Conoscenze:
Le idee fondamentali dell'analisi funzionale in spazi di Hilbert, dell'analisi
armonica, della teoria delle funzioni e insiemi convessi, le relative
tecniche dimostrative ed alcune loro applicazioni rilevanti.
Competenze acquisite:
I metodi di dimostrazione di base dell'analisi funzionale ed armonica ed i
collegamenti di queste con altre discipline della matematica e di altri ambiti scientifici.
Capacità acquisite al termine del corso:
Lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i
principali risultati dell'analisi funzionale e armonica e della teoria di base
della funzioni e insiemi convessi e di risolvere esercizi e problemi ad esse
inerenti.
Prerequisiti
Conoscenze di base richieste: Calcolo Differenziale ed Integrale per funzioni di una e più variabili (con dimostrazioni); Serie numeriche e di funzioni; Geometria Analitica; Algebra Lineare; Topologia Generale. (Analisi Matematica 1, 2; Geometria 1, 2.)
Conoscenze raccomandate: integrale di Lebesgue; spazi (Lp) di Lebesgue; Analisi Complessa di base. (Analisi Matematica 3.)
Metodi Didattici
CFU: 9. Numero di ore totali del corso: 225 Numero di ore per studio
personale e altre attività formative di tipo individuale: 153. Numero di ore
relative alle attività in aula: 72.
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Non obbligatoria, ma fortemente
consigliata.
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale finale in cui lo studente deve essere in grado di enunciare,
dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi reale, funzionale e
armonica. Con l'aiuto del docente, se necessario, allo studente può essere richiesto di affrontare in maniera critica e risolvere esercizi e problemi inerenti alle materie del corso. Per gli studenti
Erasmus, è previsto, su richiesta, un esame scritto, in sostituzione di
quello orale.
Programma del corso
Complementi di Analisi Reale:
• Il lemma di ricopertura di Vitali.
• Funzioni a variazione limitata di una variabile reale. Prime proprietà.
• Decomposizione di Jordan.
• Derivabilità quasi ovunque di una funzione a variazione limitata.
• Funzioni assolutamente continue.
• Teorema fondamentale del calcolo per funzioni assolutamente
continue. Mensurale.
• Derivabilità nel senso delle distribuzioni e spazi di Sobolev.
Analisi funzionale in spazi di Hilbert
• Definizione di prodotto scalare; Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz;
Identità del parallelogramma.
• Definizione di spazio di Hilbert ed esempi.
• Proiezione su un convesso.
• Sistemi ortonormali. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di
Bessel.
• Completezza di un sistemi ortonormale. Identità di Parseval.
• Funzionali lineari e limitati. Duale di uno spazio di Hilbert. Teorema di
rappresentazione di Riesz.
• Convergenza debole.
• Teorema di Banach-Alaoglu.
• I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram.
• Teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze.
• Teorema di Banach-Steinhaus.
• Operatori lineari e continui.
• Operatori compatti: esempi e prime proprietà.
• Teorema dell'alternativa di Fredholm.
• Spettro di un operatore compatto.
• Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico e compatto.
Serie di Fourier
• Polinomi trigonometrici.
• Serie e coefficienti di Fourier.
• Disuguaglianza di Bessel.
• Lemma di Riemann-Lebesgue.
• Nucleo di Dirichlet.
• Criteri del Dini e di Jordan.
• Convergenza uniforme della serie di Fourier.
• Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di
quadrato sommabile.
• Identità di Parseval.
Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.
• Comportamento della trasformazione di Fourier rispetto a dilatazioni,
traslazioni, rotazioni e convoluzioni.
• Legame tra regolarità di f e decadimento della sua trasformata
Testi in inglese
• Lo spazio di Schwarz. Derivazione e trasformata.
• Trasformata di una Gaussiana.
• Teorema di Plancherel ed identità di Parseval. Definizione di
trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato
sommabile.
• Formula di inversione.
Teoria di base delle distribuzioni.
• Spazio delle funzioni test e sua topologia.
• Definizione di distribuzione e del suo ordine.
• Spazio delle distribuzioni e sua topologia.
• Derivata distribuzionale. Spazi di Sobolev.
• Operazioni sulle distribuzioni.
• Regolarità della convoluzione.
• Caratterizzazione dello spazio delle distribuzioni a supporto compatto.
Spazio metrico delle funzioni infinitamente differenziabili.
• Teorema fondamentale per le distribuzioni. Le distribuzioni con derivata
nulla sono costanti.
• Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier.
Funzioni armoniche
• Proprietà della media per le funzioni armoniche.
• Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.
• Principio di massimo.
• Principio di Hopf.
• Disuguaglianza di Harnack.
• Teorema di Liouville.
• Teoremi di convergenza di Harnack.
Problemi al contorno per le equazioni di Poisson e Laplace
• Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione.
• Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
• Teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin.
• Problemi al contorno in domini illimitati. Inversione per raggi vettori
reciproci e trasformazione di Kelvin.
• Identità di Stokes e definizione della funzione di Green.
• Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.
• Simmetria della funzione di Green.
• Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il
semispazio e per la sfera.
• Analiticità delle funzioni armoniche.
• Funzioni subarmoniche e superarmoniche.
• Metodo di Perron per l’esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in
domini limitati.
• Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.
• Esistenza della funzione di Green.
• Principio di Dirichlet e teorema di Lax-Milgram.
• Conversione di un problema di Dirichlet in un’equazione integrale e
applicazione del teorema dell'alternativa di Fredholm.