Introduzione al Calcolo delle Variazioni (CdV) e Prospettive su Equazioni a Derivate Parziali (EDP):
i) metodi classici del CdV, equazioni di Eulero-Lagrange; metodi diretti per funzionali integrali; alcune applicazioni;
ii) approccio analitico-funzionale allo studio di EDP di evoluzione lineari: strumenti fondamentali (teoria dei semigruppi di operatori), una scelta di questioni connesse e di applicazioni (proprietà di stabilità, controllo ottimale di EDP).
Alcuni riferimenti bibliografici (in ordine alfabetico entro ciascuna area tematica):
i) Calcolo delle Variazioni:
- G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems, Oxford University Press, 2008.
- B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, 2015.
- B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2007.
- E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, UMI, 1994.
ii) EDP di evoluzione e sistemi differenziali in spazi infinito-dimensionali, teoria dei semigruppi, teoria matematica del controllo (altri testi in arrivo):
- P. Acquistapace, Appunti di teoria dei semigruppi, https://people.dm.unipi.it/~acquistp/teosg.pdf
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M. Delfour, S. Mitter, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems, 2nd edition, Birkhauser, Boston, 2007.
- A. Lunardi, Introduzione alla teoria dei semigruppi, http://people.dmi.unipr.it/alessandra.lunardi/
- A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer, New York, 1983.
- J. Zabczyk, Mathematical control theory. An introduction, Birkhauser, Boston 2008.
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza di temi e questioni principali affrontate nel corso (cfr. "Programma esteso").
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e di alcuni metodi variazionali o analitico-funzionali per lo studio di problemi di minimo e di equazioni a derivate parziali di evoluzione.
Capacità acquisite al termine del corso: capacità di analizzare problemi di minimo, di comprendere e/o formalizzare semplici problemi inerenti a equazioni di evoluzione, proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, interpretarne gli esiti.
Capacità di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Elementi di base dell'analisi funzionale, elementi introduttivi alle equazioni a derivate parziali; fondamenti di teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula. Attività seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
Crediti formativi universitari: 9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Prova orale, di cui una parte prevalente avrà forma seminariale e verterà su un tema concordato da ciascuna/o studente con i docenti del corso.
Programma del corso
CALCOLO delle VARIAZIONI
Introduzione ai problemi del Calcolo delle variazioni. Lemmi fondamentali. Equazioni di Eulero-Lagrange. Minimalità e convessità.
Metodi nel Calcolo delle Variazioni e soluzioni deboli: il principio di Dirichlet; la condizione di pendenza limitata; il metodo diretto; risultati di semicontinuità.
Applicazioni alla meccanica dei continui.
INTEGRALE di BOCHNER per funzioni f: I ---> X, con I intervallo reale (anche generalizzato) e X spazio di Banach. Spazi L^p(I,X) e W^{1,p}(I,X).
TEORIA degli OPERATORI. Operatori lineari in spazi di Banach: operatori continui, chiusi, prechiusi (o chiudibili). Caratterizzazioni rispettive, esempi illustrativi.
TEORIA dei SEMIGRUPPI di OPERATORI. Introduzione. Semigruppi fortemente continui, proprietà asintotiche del semigruppo, il "tipo" ("sharp growth bound") del semigruppo. Il generatore del semigruppo, risultati di generazione classici (Teorema di Hille-Yosida). Operatori dissipativi, il teorema di Lumer-Phillips; gruppi di operatori, il teorema di Stone. Riformulazione di problemi al contorno e ai valori iniziali per equazioni di evoluzione come problemi di Cauchy in spazi di dimensione infinita. Soluzioni strette, forti, mild, deboli. Illustrazione dell'utilizzo dei teoremi suddetti. (Operatori settoriali, semigruppi analitici.)*
TEORIA MATEMATICA del CONTROLLO. Sistemi di controllo lineari. Controllo ottimale e controllo ottimale in forma di retroazione (feedback). Il caso lineare-quadratico, equazioni di Riccati (differenziali ed algebriche). Il caso generale, l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (cenni). Enfasi sull'interconnessione tra metodi analitico-funzionali e metodi precipui delle EDP. Metodo dei moltiplicatori (o dell'energia) per lo studio della stabilità uniforme.