Insegnamento mutuato da: B018755 - ANALISI SUPERIORE Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum APPLICATIVO
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
- Alcuni risultati e metodi per lo studio della stabilità di problemi inversi. Studio della regolarità di problemi al bordo. Stime di Carleman e proprietà di continuazione unica
- Costruzione della teoria del grado topologico in spazi euclidei con applicazioni ad alcuni problemi per equazioni differenziali. Approccio assiomatico, estensioni della teoria a spazi più generali.
- L.C. Evans, Partial differential equations, Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp.
- G. Dinca, J. Mawhin. Brouwer Degree: The Core of Nonlinear Analysis. Birkhauser 2021
- N. G. Lloyd. Degree Theory. Cambridge tracts in Mathematics n. 73
- F. John, Partial differential equations. Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. x+249 pp.
Inoltre: Note integrative a cura dei docenti; ottimi materiali liberamente reperibili in rete suggeriti dai docenti
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza di temi e questioni principali del corso (v. la voce "Programma esteso")
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e dei metodi per lo studio di problemi inversi e di proprietà di continuazione unica per equazioni alle derivate parziali.
Comprensione dei fondamenti e metodologia di base della teoria del grado topologico.
Capacità acquisite al termine del corso: capacità di comprendere e/o formalizzare semplici problemi di stabilità di inversi e di proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, di interpretarne gli esiti. Capacità di usare lo strumento del grado topologico per studiare problemi relativi a equazioni differenziali. Capacità di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Fondamenti della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie. Analisi Funzionale. Spazi normati e applicazioni lineari continue. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Calcolo differenziale in R^n. Teoria della misura di Lebesgue. Spazi L^p. Spazi di Holder. Convoluzione. Funzioni olomorfe.
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula, attività seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale: seminario su argomento concordato con gli studenti
Programma del corso
1. ESEMPI DI PROBLEMI INVERSI.
Tomografia. Problema all'indietro per l'equazione del calore. Il problema inverso della conducibilità.
2. SPAZI DI SOBOLEV E PROBLEMI AL BORDO.
Definizione degli spazi di Sobolev a esponente intero. Teoremi di densità. Lo spazio duale di H_0^1. Spazi di Sobolev e trasformata di Fourier. Tracce. Cenni sugli spazi di Sobolev a esponente frazionario. Teoremi di Immersione di Sobolev. Disuguaglianza di Morrey. Teoremi di compattezza.
Formulazione variazionale di alcuni problemi al bordo per equazioni ellittiche di ordine 2 a coefficienti reali. Problema di Dirichlet e problema di Neumann. Teorema di Lax - Milgram. Teoria della regolarità L^2 delle soluzioni deboli: (i) regolarità all'interno, (ii) regolarità al bordo nel caso del problema di Dirichlet. Mappa Dirichlet a Neumann. Problema inverso dell'inclusione
3. PROPRIETA' DI CONTINUAZIONE UNICA E PROBLEMA DI CAUCHY
a) Equazioni nel campo analitico. Teorema di Cauchy Kovalevskaya. Teorema di Holmgren.
b) Definizione di problema ben posto secondo Hadamard
c) La questione dell'unicità e della dipendenza per equazioni a coefficienti non analitici. Stime di stabilità per equazioni ellittiche del secondo ordine. Introduzione al metodo delle stime di Carleman. Disuguaglianza delle tre sfere.
4. Costruzione del grado topologico (Brouwer) in spazi euclidei mediante l'approccio differenziale. Proprietà fondamentali. Costruzione alternativa basata sugli integrali di volume, costruzione con gli integrali di superficie. Stime. Approccio assiomatico. Estensioni della teoria del grado topologico (grado su varietà differenziabili, grado di campi vettoriali, indice di punto fisso, grado di Leray-Schauder a dimensione infinita).
5. Applicazioni della teoria del grado topologico a problemi al bordo per equazioni differenziali.