Insegnamento mutuato da: B018755 - ANALISI SUPERIORE Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum APPLICATIVO
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
- Prospettive su Equazioni a Derivate Parziali (EDP) lineari:
i) il problema di Cauchy, problemi inversi;
ii) problemi al contorno e ai valori iniziali per EDP di evoluzione come equazioni (e sistemi) differenziali in spazi di dimensione infinita; introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori.
- Alcuni risultati e metodi per lo studio di problemi inversi e di controllo.
- Alcuni strumenti dell'analisi matematica moderna: stime di Carleman, di regolarità al bordo, di osservabilità.
- L.C. Evans, Partial differential equations, Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp.
- F. John, Partial differential equations. Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. x+249 pp.
- J. Zabczyk, Mathematical control theory: An introduction. Second edition. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhauser/Springer, Cham, 2020. xxvi+336 pp.
- A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Applied Mathematical Sciences, 44. Springer-Verlag, New York, 1983. viii+279 pp.
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M.C. Delfour, S.K. Mitter, Representation and control of infinite dimensional systems. Second edition. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2007. xxviii+575 pp.
Inoltre: Note integrative a cura dei docenti; ottimi materiali liberamente reperibili in rete suggeriti dai docenti
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza di temi e questioni principali del corso (v. la voce "Programma esteso")
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e dei metodi per lo studio di problemi inversi e di controllo
Capacità acquisite al termine del corso: capacità di comprendere e/o formalizzare semplici problemi inversi e di controllo, di proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, di interpretarne gli esiti. Capacità di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Fondamenti della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie. Analisi Funzionale. Spazi normati e applicazioni lineari continue. Teorema di Hahn-Banach. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Calcolo differenziale in R^n. Teoria della misura di Lebesgue. Spazi L^p. Spazi di Holder. Convoluzione. Trasformata di Fourier. Definizione e proprietà di base degli spazi di Sobolev. Funzioni armoniche.
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula, attività seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale: seminario su argomento concordato con ciascuna e ciascuno studente
Programma del corso
ANALISI SUPERIORE (AA 2021/2022)
TEORIA MATEMATICA del CONTROLLO. Introduzione. Sistemi di controllo lineari in dimensione finita. Proprietà di controllabilità, stabilità (e stabilizzabilità), controllo ottimale: definizioni, qualche risultato attinente. Il contesto infinito-dimensionale: l'interconnessione tra metodi dell'analisi funzionale e metodi precipuamente di equazioni a derivate parziali (EDP).
TEORIA DEI SEMIGRUPPI di OPERATORI. Semigruppi fortemente continui in spazi di Banach, il generatore del semigruppo. Teoremi di generazione: Teorema di Hille-Yosida, Teorema di Lumer-Phillips. Semigruppi analitici. Gruppi di operatori.
Interpretazione delle proprietà di ammissibilità e controllabilità in termini di disuguaglianze (dirette e inverse).
IL PROBLEMA DI CAUCHY PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI.
a) Equazioni nel campo analitico. Teorema di Cauchy Kovalevskaya. Teorema di Holmgren.
b) Definizione di problema ben posto secondo Hadamard.
c) La questione dell'unicità e della dipendenza per equazioni a coefficienti non analitici. Stime di stabilità per equazioni ellittiche del secondo ordine. Introduzione al metodo delle stime di Carleman. Disuguaglianza delle tre sfere.
ESEMPI DI PROBLEMI INVERSI. Tomografia. Problema all'indietro per l'equazione del calore. Il problema inverso della conducibilità: formulazione del Problema. Definizione della mappa Dirichlet a Neumann e sue principali proprietà.