Il corso presenta i concetti fondamentali della teoria delle rappresentazioni (con particolare riguardo a quelle complesse) di gruppi finiti. Viene introdotto il concetto di carattere di un gruppo finito, e si illustrano alcune importanti relazioni tra struttura gruppale e certe proprietà dei caratteri irriducibili del gruppo. Viene poi introdotto il concetto di algebra di Lie, con cenni di teoria delle rappresentazioni anche di questi oggetti.
I.M. Isaacs, "Character Theory of finite groups", Academic Press (1976).
M.P. Malliavin, "Les groupes finis et leurs représentations complexes", Volume 1. Masson, (1981).
J.E. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", Springer (1972).
W. Fulton, J. Harris, "Representation Theory: A First Course", Springer (1991).
J.M. Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", Springer (2012).
Obiettivi Formativi
Obiettivo dell'insegnamento è presentare le idee basilari della teoria delle rappresentazioni per gruppi finiti e per le algebre di Lie.
Prerequisiti
Nozioni di base dell'Algebra, in particolare della teoria dei gruppi e dell'algebra lineare.
Metodi Didattici
Lezioni frontali.
Modalità di verifica apprendimento
Durante il corso verranno svolti esercizi sulle tematiche affrontate, con il coinvolgimento degli studenti. L'esame finale consiste in una prova orale in cui verranno discussi esercizi simili a quelli svolti in aula oltre alle questioni teoriche affrontate.
Programma del corso
1. Moduli e rappresentazioni di gruppi finiti: definizioni ed esempi. Moduli e rappresentazioni irriducibili e completamente riducibili di un gruppo finito.
Algebra gruppale e Teorema di Maschke.
2. Caratteri complessi di un gruppo finito: definizioni e proprietà generali. Caratteri irriducibili, relazioni di ortogonalità, caratteri lineari.
Tavole dei caratteri: esempi.
Applicazioni della teoria dei caratteri: Teorema di Burnside e Teorema di Frobenius.
3. Prodotto tensoriale di moduli, prodotto di rappresentazioni e di caratteri.
4. Rappresentazioni e caratteri indotti. Rappresentazioni dei sottogruppi normali e teoria di Clifford.
5. Rappresentazioni complesse dei gruppi simmetrici: partizioni e diagrammi di Young, moduli di Specht, determinazione dei caratteri irriducibili dei gruppi simmetrici.
6. Varietà lisce, spazio tangente e fibrato tangente di una varietà liscia, campi vettoriali lisci e algebra di Lie ad essi associata. Gruppi di Lie ed algebre ad essi associate: campi vettoriali lisci invarianti a sinistra. Funtore tra categoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
7. Esempi di algebre di Lie. Rappresentazione aggiunta. Ideali. Algebre risolubili e nilpotenti, algebre semisemplici. Teorema di Engel e teorema di Lie.
8. Forma di Killing e caratterizzazione delle algebre semisemplici. Moduli per algebre di Lie e teorema di Weyl sulla completa riducibilità dei moduli di un'algebra semisemplice. Moduli di sl(2,C). Sottoalgebre torali e decomposizione di Cartan; sistemi di radici.