Insegnamento mutuato da: B018754 - ANALISI FUNZIONALE Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum GENERALE
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Topologie deboli.
Spazi di Sobolev. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali.
Teoremi del punto fisso.
-H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Appl., Liguori Ed., Napoli,1986
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Vol.19
-E.Zeidler, Applied Functional Analysis, Main principles and their applications, Applied Mathematics Sciences, N. 109, Sringer-Verlag.
- Elvira Mascolo, Appunti di Analisi Funzionale, reperibili all'indirizzo: http://web.math.unifi.it/users/mascolo/DIDATTICA-MATEMATICA/libroAf.pdf
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire conoscenze di base dei risultati principali relativi ad operatori lineari, alla convergenza debole, agli spazi di Sobolev e ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali.
Ogni argomento trattato sarà completato con esempi ed esercizi, per permettere l’acquisizione di un corretto metodo deduttivo. Alla fine del corso gli studenti dovranno essere in grado di svolgere correttamente esercizi relativi agli argomenti proposti e potranno trattare, ad esempio, alcuni problemi di Calcolo delle Variazioni e di Equazioni alle derivate parziali ellittiche con appropriati strumenti analitici.
Prerequisiti
Teoria della misura e spazi L^p
Corsi vincolanti: Analisi Matematica III
Corsi raccomandati: Istituzione di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in una interrogazione orale durante la quale verranno poste alcune domande sia di natura teorica che la risoluzione di problemi.
Più precisamente sarà richiesto di dimostrare alcuni teoremi tra quelli svolti durante il corso (segnalati sul programma), e di svolgere esercizi per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria sviluppata nel corso. Verranno inoltre valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Teorema di Hahn-Banach, Teorema del Grafico Chiuso, Teorema della Mappa Aperta.
Dualità, topologie deboli. Separabilità e riflessività.
Spazi di Hilbert: teorema della proiezione su un convesso chiuso, dualità, Teorema di Lax-Milgram, sistemi ortonormali.
Operatori compatti: teoria di Riesz-Fredholm, teoria spettrale per operatori compatti autoaggiunti,
Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietà nel caso di spazi del primo ordine. Formulazione variazionale delle equazioni alle derivate parziali uniformemente ellittiche. Teoremi del punto fisso ed Applicazioni.