I.M. Isaacs,: Character Theory of Finite Groups - AMS Chelsea Publishing
Obiettivi Formativi
Acquisizione dei principali concetti e strumenti della teoria dei caratteri dei gruppi finiti, e loro applicazione alla teoria dei gruppi.
Prerequisiti
Corsi istituzionali in teoria dei gruppi, teoria degli anelli e algebra lineare.
Metodi Didattici
Lezioni frontali
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale.
Nell'esame orale lo studente dovra' mostrare di aver compreso le dimostrazioni svolte a lezione, ed essere in grado di esprimersi con un linguaggio tecnico adeguato.
Verra' inoltre richiesta la capacita' di risolvere esercizi del tipo proposto a lezione.
Programma del corso
Algebre. Moduli. Lemma di Schur. Concetti fondamentali di teoria dei moduli su anelli.
Moduli completamente riducibili: caratterizzazione. Algebre semisemplici. Teorema di Maschke.
Teorema di struttura di Wedderburn.
Rappresentazioni di gruppo; caratteri; relazioni di ortogonalita'; nucleo e centro di caratteri.
Gruppo duale di un gruppo abeliano.
Interi algebrici; Teoremi di Burnside; gradi di caratteri irriducibili: prime proprieta'.
Prodotto di caratteri. Prodotto tensoriale di moduli per algebre di gruppo. Gruppi generalizzati dei quaternioni, diedrali, semidiedrali e quasidiedrali. Caratteri di prodotti diretti.
Caratteri indotti. Moduli primitivi. M-gruppi; teorema di Taketa. Moduli e caratteri di permutazione. Teorema di Artin
Teoria di Clifford: teorema di Clifford e corrispondenza di Clifford. Applicazioni: gruppi nilpotenti sono M-gruppi; gradi di caratteri irriducibili dividono l'indice di sottogruppi normali abeliani. Teorema di Gallagher. Going-up e Going-down. Teoremi di estendibilita' di caratteri. Lemma di permutazione di Brauer. Caratteri fully-ramified. Caratteri p-razionali.
Gruppi di Frobenius; teorema di Frobenius.
Gradi di caratteri irriducibili: Teorema di Thompson; gruppi con due gradi di caratteri irriducibili; risolubilita' di gruppi
con tre gradi di caratteri irriducibili; Teorema di Ito.
Corrispondenza di Galuberman;