B018797 - TEORIA DEI NUMERI

Italiano.

Il corso è pressoché articolato in tre parti.
La prima parte consiste di preliminari. Vengono richiamati concetti di base della teoria delle congruenze e si prova la legge di reciprocità quadratica di Gauss. Nella seconda parte si studiano le funzioni aritmetiche e le loro medie. Si provano il postulato di Bertrand e i Teoremi di Čhebyshev e di Dirichlet. Nella terza parte si affronta la Teoria Additiva. Si studiano il problema di Waring, le funzioni g e G ed il metodo di Schnirelmann.

1) Dispense del corso da me scritte.
Altri libri di testo consigliati sono:
2) M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory.
3) M. B. Nathanson, Additive Number Theory.
3) T. Apostol, An Introduction to Number Theory.

Il corso vuole essere un’introduzione ai cosiddetti metodi elementari nella Teoria
(Analitica) dei Numeri. La maggior parte dei teoremi presentati riguardano i numeri interi, e i loro
enunciati sono chiari, immediati e facilmente comprensibili. È tutt’altra cosa invece per quanto
riguarda le loro dimostrazioni, le quali spesso hanno richiesto tecniche sofisticate in svariati ambiti
della Matematica, ad esempio si passa dall’analisi complessa alla geometria algebrica, la coomologia,
ecc. ecc. Una volta però dimostrato un teorema, e soprattutto se il suo enunciato è semplice,
si è soliti cercare una dimostrazione che faccia uso solamente di “argomenti elementari” e che,
almeno in linea teorica, possa essere compresa anche da chi non possiede conoscenze specifiche
in particolari settori della Matematica. Le dimostrazioni elementari non sono migliori delle altre,
né sono necessariamente facili. In realtà, molte di queste sono tecnicamente difficili. Hanno però il
grande vantaggio di soddisfare ad una condizione estetica ben precisa: utilizzano solo argomenti aritmetici.

Il primo obiettivo è quindi quello di trasmettere la conoscenza di questa affascinante teoria.
Gli studenti, a fine corso, dovrebbero essere in grado di leggere e comprendere i teoremi presentati
a lezione e/o raccolti sulle dispense del corso. Si richiede loro anche capacità di applicare queste conoscenze
nel risolvere esercizi di varia difficoltà. Gli esercizi che propongo infatti non sono solo pratici ma anche di
natura teorica, in modo da poter valutare una loro autonomia di giudizio. Durante il colloquio orale (l'effettiva
prova d'esame) gli studenti sono poi tenuti ad esporre i concetti e i teoremi con linguaggio adeguato, mostrando
abilità comunicative e capacità di apprendimento.

Preferibilmente i programmi dei corsi di Algebra 1 e 2 della Laurea Triennale in Matematica.

Lezioni frontali (rigorosamente con gesso e lavagna). Piattaforma moodle. Pagina web personale.

Colloquio orale sugli argomenti del programma.

Gli studenti sono tenuti ad esporre i concetti e i teoremi del programma del corso con linguaggio adeguato, mostrando abilità comunicative e capacità di apprendimento. Non e` richiesta la conoscenza specifica di tutti gli esercizi svolti a lezione, e/o separatamente a casa, si intende pero` comunque valutare le capacita` di ragionamento critico, per questo durante il corso consigliamo vivamente, oltre allo studiare, anche il fare Matematica.

Il corso è articolato in tre parti.

La prima parte consiste di preliminari. Vengono richiamati alcuni concetti di base di algebra 1 e 2, quali massimo comune divisore, formula di Bezout, algoritmo di Euclide. Viene inoltre riassunta la teoria delle congruenze e delle equazioni diofantee lineari (gia` parte del corso di Algebra 1). Si introducono classi importanti di numeri primi e pseudoprimi (quali i primi ddi Fermat, di Mersenne e i numeri di Carmichael) e si provano alcuni criteri di primalita` (test di Lucas-Lehmer). Inoltre si prova il Lemma di Hensel che riguarda le congruenze modulo un numero composto. La parte si conclude con la teoria dei residui quadratici, i simboli di Legendre e la dimostrazione della Legge di reciprocita` quadratica di Gauss.

La seconda parte e` incentrata sulla cosiddetta Teoria moltiplicativa. Si studiano le funzioni aritmetiche, ovvero gli elementi dell'anello $C^{N^*}$ dotato dell'usuale somma di funzioni e del prodotto di convoluzione. In particolare vengono definite ed analizzate le proprieta` delle funzioni: d, sigma, mu di Moebius e phi di Eulero. Si prova la formula di inversione di Moebius e la caratterizzazione dei numeri perfetti pari (Teorema di Eulero).
Viene analizzato il comportamento asintotico delle medie delle funzioni sopra definite. Si prosegue poi con lo studio dei numeri primi, in particolare la loro distribuzione. Si enuncia il Teorema dei Numeri Primi e si provano il Teorema di Čhebyshev e il postulato di Bertrand. Dopo una breve introduzione alla Teoria dei caratteri per gruppi abeliani, si prova il Teorema di Dirichlet sulle progressioni dei primi.

La terza parte affronta la Teoria Additiva. Dapprima si affronta il problema di Waring nelle sue varianti. Si prova un celebre risultato di Lagrange e si studiano le funzioni g e G. Poi viene introdotto il concetto di base e il metodo di Schnirelmann, provando una importante variante della congettura di Goldbach. Le ultime lezioni del corso sono incentrate sul concetto di partizione e la relativa formula di Ramanujan.