Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Gruppi diedrali e di matrici. Sottogruppi normali minimali e caratteristicamente semplici. Gruppi risolubili e commutatori. Azioni e loro applicazioni. Gruppi primitivi e imprimitivi. Classificazione dei sottogruppi normali regolari in un k-transitivo. Semplicità di A_n e di PSL(n,F). Gruppi liberi e loro isomorfismi. Presentazioni e relazioni. Lemma del ping-pong. Serie centrale discendente e nilpotenza. Nilpotenti finiti. Teorema di Dedekind.
Le dispense del Prof. C. Casolo costituiscono il riferimento principale. Su alcuni argomenti mi sono discostata da esse. Segnalo, in particolare, Kurzweil, Stellmacher, The theory of finite groups, per la parte sui prodotti semidiretti; Robinson, A course in the theory of groups, per alcuni aspetti riguardanti i gruppi di matrici e per la parte sui gruppi liberi.
Altri testi che sono fonte di ispirazione per le mie lezioni e possono costituire un utile strumento per la preparazione dell’esame o l’approfondimento sono Milne, Group theory; Bogopolski, Introduction to group theory. Alcuni esercizi e seminari che verranno proposti vengono dall’eserciziario del Prof. M. Garonzi.
Obiettivi Formativi
Acquisire le principali conoscenze di teoria dei gruppi focalizzando sul caso finito ma con un costante confronto con il caso infinito.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di Algebra I e II. Principali definizioni di base e risultati su gruppi anelli e campi.
Metodi Didattici
Lezioni: Presentatione della teoria del corso con lezioni frontali sempre in interazione con gli studenti in modo da garantire una piena comprensione degli argomenti.
Esercitazioni: gli studenti, in collaborazione con il docente, presentano esercizi o piccoli seminari proposti dal docente o da essi stessi.
Le esercitazioni sono condotte in modo da:
-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza nell’apprendimento;
--rendere gli studenti parte attiva del corso, assecondando i loro interessi.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, assegnazione di esercizi e altro materiale didattico.
Altre Informazioni
Corso presente in piattaforma moodle
Modalità di verifica apprendimento
Prova finale orale: Viene proposto un esercizio simile a quelli affrontati durante il corso. Viene valutata la correttezza dei procedimenti seguiti con particolare riguardo alla correttezza fomale e al rigore del linguaggio utilizzato
Vengono poi poste alcune domande di comprensione della teoria svolta nel corso valutando sia la capacità di comunicare la materia che l’uso di un linguaggio matematico adeguato.
Programma del corso
Gruppi e Teorema di Lagrange. Prodotto fra sottoinsiemi. Omomorfismi, sottogruppi normali e quozienti. I tre teoremi di omomorfismo. Gruppo degli automorfismi. Sottogruppi caratteristici. Prodotti diretti. Gruppo degli automorfismi di un prodotto diretto. Automorfismi dei gruppi ciclici. Aut(G), Inn(G) e Out(G). Centralizzanti e normalizzanti. Chiusura normale e core. Prodotti semidiretti e gruppi diedrali finiti e infiniti. Gruppo delle trasformazioni lineari affini di un campo. Prodotti semidiretti fra C_n e C_m. Ogni gruppo generato da due elementi di ordine 2 è diedrale. Centro di D_{2n}. Gruppi di matrici Gruppi di matrici e cicli di Singer. Gruppo generale, speciale, generale proiettivo e speciale proiettivo. Matrici triangolari T e unitriangolari U. U come p-Sylow di GL(n,p^f), T come suo normalizzante.Omega serie di gruppi. Sottogruppi normali minimali e caratteristicamente semplici. Serie principali per S_n. Gruppi risolubili. Commutatori. Lemma dei tre sottogruppi. Serie derivata. Azione di un gruppo G su un insieme o su un gruppo. Nucleo, immagine, fedeltà, orbite, stabilizzatori, Fix. Contesti di azione classici e applicazioni. Lemma di Burnside. Gruppi di ordine pq con p>q. Proprietà dei Sylow di un gruppo. Argomento di Frattini. O_p(G). Azioni equivalenti. Due azioni fedeli non equivalenti di S_5 su un insieme di 6 oggetti. Azione transitive. Transitività multipla. Gruppi primitivi e imprimitivi. Ogni sottogruppo normale di un primitivo è transitivo. Ogni gruppo di permutazioni abeliano e transitivo è regolare. Classificazione dei sottogruppi normali regolari in un k-transitivo. Ogni abeliano normale entro un primitivo è regolare. L'unico k-transitivo con k maggiore o uguale a 4 contenente un normale non banale abeliano è S_4. Gruppi primitivi contenenti un m-ciclo e riconoscimento di sottogruppi di S_n. A_n è semplice per ogni n maggiore o uguale a 5. Gruppi speciali proiettivi. Perfezione di SL(n,F). PSL(n,F) è semplice per n>2 e per n=2 con |F|>3. Isomorfismo fra PSL(2,2) e S_3; fra PSL(2,3) e A_4. Isomorfismo fra PSL(2,4), PSL(2,5) e A_5.. Azioni di prodotti diretti di gruppi di permutazione sui cosiddetti profili di preferenze in ambito scelte sociali. Gruppi liberi e loro costruzione. Isomorfismo di gruppi liberi. Teorema della forma normale. Il centro di un libero. Il gruppo libero di rango 2: suoi sottogruppi liberi di rango r per ogni naturale r. Ogni gruppo è quoziente di un libero. Presentazioni e relazioni. Gruppi liberi in natura e loro riconoscimento. Lemma del ping-pong. Gruppi nilpotenti. Serie centrale discendente e nilpotenza. Formula ricorsiva per i termini della serie centrale discendente. Se G è nilpotente la serie centrale discendente è centrale. Confronto fra gruppi nilpotenti e risolubili. L'i-mo centro. Chiusura della classe dei nilpotenti per sottogruppi, quozienti, prodotti diretti ma non per estensioni. In G nilpotente ogni normale taglia non banalmente il centro. Un massimale in un nilpotente finito è normale di indice primo. Gruppi subnormali. In G nilpotente ogni sottogruppo è subnormale. Le condizioni equivalenti per un nilpotente finito. Il gruppo dei quaternioni Q_8. Teorema di Dedekind. Possibili ulteriori argomenti: Gruppi di Frobenius. Teorema di Schur-Zassenhaus.