Caratterizzazione geometrico-analitica delle funzioni olomorfe. Sfera di Riemann.
Lemma di Schwarz e di Schwarz Pick. Metrica e distanza di Poincare' e relative geodetiche.
Automorfismi del disco unitario. Automorfismi del piano complesso e della sfera di Riemann.
Trasformazioni lineari fratte. Famiglie normali.
Teorema di Weierstrass e Teorema di Hurwitz. Teorema di Montel. Teorema di Uniformizzazione di Riemann.. Superfici di Riemann e loro classificazione.
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw Hill 1979
J. B. Conway, Functions of One Complex Variabl, GTM Springer-Verlag, 1978
J. Milnor, Dynamics n One Complex Variable, Third Edition, Annals of Mathematics Studies, 2006
E. Vesentini, Capitoli scelti della teoria delle funzioni olomorfe. UMI 1980
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Conoscenze di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Competenze acquisite:
Elementi della teoria di una variabile complessa utili ad affrontare temi
avanzati in Analisi, Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Capacità acquisite al termine del corso:
Capacità di utilizzare la teoria di una variabile complessa in Analisi,
Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Tutti i corsi obbligatori della laurea triennale in
Matematica
Corsi raccomandati: Corsi di base della laurea triennale in Algebra,
Analisi e Geometria
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225 (= 9 x 25)
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo
individuale: 153
Numero di ore relative alle attività in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria
Orario di ricevimento:
Giovedi 12-14 o su appuntamento
Numeri complessi e topologia di C. Funzioni olomorfe e conformalità.
Serie di potenze, funzioni elementari. Integrazione lungo le curve,
Teorema di Cauchy-Goursat, formula di Cauchy e conseguenze. Sviluppi
in serie di potenze, zeri di funzioni olomorfe, prolungamento analitico.
Diseguaglianze di Cauchy. Successioni di funzioni olomorfe. Teorema di
Liouville, Teorema dell’applicazione aperta. Principio del massimo
modulo. Lemma di Schwarz. Versioni globali della formula di Cauchy,
omotopia. Teoremi di Runge. Serie di Laurent e singolarità isolate. Sfera
di Riemann e funzioni meromorfe. Residui e applicazioni al calcolo di
integrali, Principio dell'argomento, teorema di Rouché, teorema di
Hurwitz. Rappresentazione conforme e teorema di Riemann. Applicazioni
della geometria differenziale alla teoria delle funzioni. Elementi di teoria
delle funzioni armoniche. Cenno a problemi di dinamica olomorfa.