Equazioni alle differenze, stabilita' delle soluzioni, metodi lineari multistep per equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di matrici, successioni di funzioni di matrici, matrici positive. Sistemi lineari. Sistemi nonlineari, linearizzazione, funzioni di Liapunov. Problemi conservativi. Il metodo delle linee, spettro di una famiglia di matrici, applicazione alle equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico ed iperbolico. Applicazioni.
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Modalità di verifica apprendimento
Esame orale, con elaborato scritto, riguardante gli argomenti delle dispense. L'elaborato scritto dovrà contenere la simulazione in Matlab di un congruo numero di modelli esaminati a lezione.
Programma del corso
• Equazioni alle differenze: generalita', operatori differenza e shift, potenze fattoriali, casi particolari di equazioni alle differenze, principio del confronto.
• Equazioni alle differenze lineari: soluzione generale, il caso di equazioni a coefficienti costanti, stabilita' delle soluzioni, modello del cobweb in economia e modello di economia di una nazione, metodi lineari multistep, consistenza, zero-stabilita' e convergenza, assoluta stabilita', barriere di Dahlquist.
• Funzioni di matrici: polinomio minimale, funzioni di matrice, matrici componenti, successione di funzioni di matrici, analisi mediante la forma canonica di Jordan, matrici positive, teorema di Perron-Frobenius.
• Sistemi lineari: sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e sistemi di equazioni alle differenze lineari, modello di corsa agli armamenti, stiffness di un problema lineare e ruolo dei metodi A-stabili.
• Sistemi nonlineari: sistemi nonlineari di equazioni alle differenze e sistemi nonlineari di equazioni differenziali ordinarie, processo di linearizzazione, funzioni di Liapunov, applicazioni. Generalizzazione del concetto di stiffness per problemi nonlineari.
(Fine del programma per il corso di Metodi di Approssimazione)
Problemi conservativi.
• Polinomi e matrici di Toeplitz: matrici di Toeplitz a banda, spettro di una famiglia di matrici. Cenni sulla risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali.