B020977 - CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

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Introduzione al CdV tramite esempi, Metodi Indiretti, Metodo Diretto di Tonelli: semicontinuita', esistenza e regolarita'.

{Dac08} B. Dacorogna,
Direct methods in the calculus of variations.
Second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer, New York, 2008. xii+619 pp.


{EvaGar92} L.C. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992. viii+268 pp.

{GiaHil96} M. Giaquinta, S. Hildebrandt, Calculus of variations. I. The Lagrangian formalism.
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences],
310. Springer-Verlag, Berlin, 1996. xxx+474 pp.

{Giu03} E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. viii+403 pp.

{Leo09} G. Leoni, A first course in Sobolev spaces.
Graduate Studies in Mathematics, 105. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009. xvi+607 pp.

Conoscenza in dettaglio del metodo diretto del CdV attraverso l'analisi approfondita di alcuni casi modello. Saranno quindi trattate varie tematiche necessarie allo studio di problemi di rilassamento, semicontinuità e regolarità. In particolare, per fare questo si fornirà allo studente anche una conoscenza approfondita della teoria degli spazi di Sobolev del primo ordine.

Al termine del corso lo studente avrà la competenza di impostare e discutere la soluzione di problemi variazionali utilizzando il metodo diretto. Avrà inoltre una solida base per proseguire lo studio di questioni di regolarità per soluzioni di PDE ellittiche.

Teoria della misura di Lebesgue, spazi L^p, spazi di Hilbert e di Banach, teorema di compattezza di Ascoli-Arzela', teorema di Hahn-Banach, topologie deboli.

Lezioni frontali.

Esame orale su un argomento da concordare col Docente

1. Il Calcolo delle Variazioni: introduzione e motivazioni tramite esempi.

2. Richiami di analisi reale: funzione massimale, stima debole, teorema massimale di Hardy-Littlewood, punti di Lebesgue di funzioni sommabili, convoluzioni, Lemma fondamentale
del Calcolo delle Variazioni (vari enunciati).

3.Il Metodo Indiretto del Calcolo delle Variazioni (vedi {GiaHil96}).

(a) Estremali di Lagrangiane, nozione di variazione prima (esterna),
minimalit\`a in senso debole e in senso forte.

(b) Condizioni necessarie del primo ordine: equazione ed operatore di
Euler-Lagrange, esempi.

(c) Non esistenza e regolarit\`a di minimi: discussione di vari esempi.

(d) Condizioni del secondo ordine: nozione di variazione seconda, di
integrale accessorio e di Lagrangiana accessoria.

Condizione necessarie: condizione di Legendre-Hadamard per i minimi deboli, funzione d'eccesso di Weierstrass, condizione necessaria di Weierstrass per i minimi forti.

Condizioni sufficienti: convessit\`a, teoria di Jacobi per i minimi deboli.


4.Il Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni (vedi {Dac08}, {Giu03}).

(a) Motivazioni. Teorema di Weierstrass: semicontinuit\`a e compattezza, rilassamento, esempi.

(b) Formulazione debole di problemi variazionali. Spazi di Sobolev W^{1,p}, p\in[1,\infty] (vedi {EvaGar92}, {Giu03}, {Leo09}): nozione di derivata debole e sua unicit\`a.

Esempi: discussione di esempi particolari, caso unidimensionale, confronto fra W^{1,\infty} e le funzioni Lipschitziane, teorema di Rademacher.

Teorema di Meyers-Serrin e sue conseguenze: regola della catena, troncamento, localit\`a della derivata debole, W^{1,p}(R^n)=
W^{1,p}_0( R^n).

Risultati di immersione: teorema di Morrey, teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, teorema di immersione per
W^{1,n}(R^n).

Risultati di estensione e approssimazione di funzioni W^{1,p} su aperti Lipschitziani mediante la composizione con mappe bi-Lipschitz.

Teorema di Rellich-Kondrakov, disuguaglianze di Poincar\`e e di Sobolev-Poincar\`e. Teoria delle tracce (cenni).

(c) Condizioni necessarie e sufficienti per la semicontinuit\`a forte in L^1 nel caso scalare:
approssimazione di funzioni affini con funzioni Lipschitz che prendono due gradienti, disuguaglianza di Jensen, convessit\`a e teorema di Serrin nel caso autonomo.

(d) Condizioni necessarie per la semicontinuit\`a debole in W^{1,p} nel caso vettoriale: Lemma di Riemann-Lebesgue, disuguaglianza tipo Jensen per funzioni a gradiente perodico sul cubo unitario,
nozione di quasiconvessit\`a, relazioni della quasiconvessit\`a con la convessit\`a, la policonvessit\`a e la rango-uno convessit\`a, esempi e controesempi.

(e) Condizioni sufficienti per la semicontinuit\`a debole nel caso vettoriale:

Teorema di Morrey in W^{1,\infty}.

Teorema di Acerbi \& Fusco - Marcellini in W^{1,p}, p\in[1,\infty): biting Lemma ed equi-integrabilit\`a, lemma di Mac Shane, lemma di decomposizione, approssimazione di funzioni W^{1,p} con funzioni Lipschitz.

(f) Soluzione del IX^o Problema di Hilbert:
Esistenza ed unicit\`a di problemi di minimo mediante il Metodo Diretto, equazione di Euler-Lagrange in forma debole. Regolarit\`a ellittica interna per minimi di Lagrangiane C^2: metodo dei rapporti incrementali, regolarit\`a W_{loc}^{2,2} per minimi di funzionali C^1, teorema di Morrey, teorema di Schauder, teorema di De Giorgi.