B020977 - CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

Italiano

Introduzione al CdV tramite esempi, Metodi Indiretti, Metodo Diretto di Tonelli: semicontinuita', esistenza e regolarita'.

{Dac08} B. Dacorogna,
Direct methods in the calculus of variations.
Second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer, New York, 2008. xii+619 pp.


{EvaGar92} L.C. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992. viii+268 pp.

{GiaHil96} M. Giaquinta, S. Hildebrandt, Calculus of variations. I. The Lagrangian formalism.
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences],
310. Springer-Verlag, Berlin, 1996. xxx+474 pp.

{Giu03} E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. viii+403 pp.

{Leo09} G. Leoni, A first course in Sobolev spaces.
Graduate Studies in Mathematics, 105. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009. xvi+607 pp.

Teoria della misura di Lebesgue, spazi L^p, spazi di Hilbert e di Banach, teorema di compattezza di Ascoli-Arzela', teorema di Hahn-Banach, topologie deboli.

Lezioni frontali.

Esame orale su un argomento da concordare col Docente

1. Il Calcolo delle Variazioni: introduzione e motivazioni tramite esempi.

2. Richiami di analisi reale: funzione massimale, stima debole, teorema massimale di Hardy-Littlewood, punti di Lebesgue di funzioni sommabili, convoluzioni, Lemma fondamentale
del Calcolo delle Variazioni (vari enunciati).

3.Il Metodo Indiretto del Calcolo delle Variazioni (vedi {GiaHil96}).

(a) Estremali di Lagrangiane, nozione di variazione prima (esterna),
minimalit\`a in senso debole e in senso forte.

(b) Condizioni necessarie del primo ordine: equazione ed operatore di
Euler-Lagrange, esempi.

(c) Non esistenza e regolarit\`a di minimi: discussione di vari esempi.

(d) Condizioni del secondo ordine: nozione di variazione seconda, di
integrale accessorio e di Lagrangiana accessoria.

Condizione necessarie: condizione di Legendre-Hadamard per i minimi deboli, funzione d'eccesso di Weierstrass, condizione necessaria di Weierstrass per i minimi forti.

Condizioni sufficienti: convessit\`a, teoria di Jacobi per i minimi deboli.


4.Il Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni (vedi {Dac08}, {Giu03}).

(a) Motivazioni. Teorema di Weierstrass: semicontinuit\`a e compattezza, rilassamento, esempi.

(b) Formulazione debole di problemi variazionali. Spazi di Sobolev W^{1,p}, p\in[1,\infty] (vedi {EvaGar92}, {Giu03}, {Leo09}): nozione di derivata debole e sua unicit\`a.

Esempi: discussione di esempi particolari, caso unidimensionale, confronto fra W^{1,\infty} e le funzioni Lipschitziane, teorema di Rademacher.

Teorema di Meyers-Serrin e sue conseguenze: regola della catena, troncamento, localit\`a della derivata debole, W^{1,p}(R^n)=
W^{1,p}_0( R^n).

Risultati di immersione: teorema di Morrey, teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, teorema di immersione per
W^{1,n}(R^n).

Risultati di estensione e approssimazione di funzioni W^{1,p} su aperti Lipschitziani mediante la composizione con mappe bi-Lipschitz.

Teorema di Rellich-Kondrakov, disuguaglianze di Poincar\`e e di Sobolev-Poincar\`e. Teoria delle tracce (cenni).

(c) Condizioni necessarie e sufficienti per la semicontinuit\`a forte in L^1 nel caso scalare:
approssimazione di funzioni affini con funzioni Lipschitz che prendono due gradienti, disuguaglianza di Jensen, convessit\`a e teorema di Serrin nel caso autonomo.

(d) Condizioni necessarie per la semicontinuit\`a debole in W^{1,p} nel caso vettoriale: Lemma di Riemann-Lebesgue, disuguaglianza tipo Jensen per funzioni a gradiente perodico sul cubo unitario,
nozione di quasiconvessit\`a, relazioni della quasiconvessit\`a con la convessit\`a, la policonvessit\`a e la rango-uno convessit\`a, esempi e controesempi.

(e) Condizioni sufficienti per la semicontinuit\`a debole nel caso vettoriale:

Teorema di Morrey in W^{1,\infty}.

Teorema di Acerbi \& Fusco - Marcellini in W^{1,p}, p\in[1,\infty): biting Lemma ed equi-integrabilit\`a, lemma di Mac Shane, lemma di decomposizione, approssimazione di funzioni W^{1,p} con funzioni Lipschitz.

(f) Soluzione del IX^o Problema di Hilbert:
Esistenza ed unicit\`a di problemi di minimo mediante il Metodo Diretto, equazione di Euler-Lagrange in forma debole. Regolarit\`a ellittica interna per minimi di Lagrangiane C^2: metodo dei rapporti incrementali, regolarit\`a W_{loc}^{2,2} per minimi di funzionali C^1, teorema di Morrey, teorema di Schauder, teorema di De Giorgi.