1) L. C. Evans. Partial Differential Equations. AMS 1998.
2 F. John. Partial Differential Equations. Springer (4th edition).
3) Appunti forniti dal docente.
Obiettivi Formativi
a) Acquisire familiarità con alcune problematiche di base relative alle equazioni alle derivate parziali, con particolare riferimento al problema di Cauchy.
b) Acquisire familiarità con i problemi inversi
Prerequisiti
Analisi Funzionale. Spazi normati e applicazioni lineari continue. Teorema di Hahn-Banach. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Calcolo differenziale in R^n. Teoria della misura di Lebesgue. Spazi L^p. Spazi di Holder. Convoluzione. Distribuzioni. Trasformata di Fourier. Spazi di Sobolev. Funzioni armoniche. Problemi al bordo per equazioni ellittiche-teoria L^2.
Metodi Didattici
Lezioni frontali
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale al termine del corso
Programma del corso
1. STRUMENTI DI BASE.
a) Analisi Funzionale. Spazi normati e applicazioni lineari continue. Teorema di Hahn-Banach. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Teorema di Lax-Milgram. Operatori compatti. Teorema spettrale.
b) Calcolo differenziale in spazi normati. Derivata di Frechét. Teorema dell'applicazione inversa e della funzione implicita. Aperti regolari in R^n.
c) Spazi L^p. Spazi di Holder. Convoluzione. Distribuzioni. Trasformata di Fourier. Spazi di Sobolev.
d) Funzioni armoniche. Equazione del calore. Equazione delle corde vibranti.
e) Problemi al bordo per equazioni ellittiche-teoria L^2. Cenno ai problemi al bordo per equazioni paraboliche.
2. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI..
a) Equazioni del primo ordine.
b) Equazioni nel campo analitico. Teorema di Cauchy Kovalevski. Teorema di Holmgren (forma locale e forma globale)
c) Definizione di problema ben posto secondo Hadamard
d) Introduzione alle stime di stabilita'. Propagazione degli errori nel problema del prolungamento analitico.
e) Stime di stabilita' per il problema di Cauchy per equazioni a coefficienti analitici.
3. ESEMPI DI PROBLEMI INVERSI. Tomografia. Problema all'indietro per l'equazione del calore. Problemi inversi in teoria del potenziale.
4. IL PROBLEMA INVERSO DELLA CONDUCIBILITA'
a) Formulazione del Problema. Definizione della mappa Dirichlet a Neumann e sue principali proprieta'.
b) Dimostrazioni dell'unicita': dimostrazione di Kohn-Vogelius, il metodo delle soluzioni singolari, il metodo delle soluzioni oscillanti.
c) Stime di stabilita'
5. CENNO AI METODI DI REGOLARIZZAZIONE DEI PROBLEMI NON BEN POSTI